Обратные задачи спектрального анализа для некоторых дифференциальных операторов в частных производных

• Автор: Дубровский, Владислав Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Магнитогорск
• Количество страниц: 121 с.

§ 3.1. Возмущенная степень оператора Лапласа с потенциалом на прямоугольнике

§ 3.2. Возмущенный оператор Лапласа с потенциалом на прямоугольнике

§ 3.3. Возмущенная степень оператора Лапласа с потенциалом на п-мерном параллелепипеде

Список литературы

Обозначения и соглашения

1. Множества, как правило, обозначаются заглавными курсивными буквами латинского алфавита, кроме N — множество натуральных чисел; Ъ — множество целых чисел; Q — множество рациональных чисел; R — множество действительных чисел; R+ = {йЄІ: а>0};С — множество комплексных чисел; С — расширенная комплексная плоскость.
2. Множества операторов обозначаются заглавными каллиграфическими буквами латинского алфавита. Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского и греческого алфавитов, кроме операторов, которые обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.

% = (Н, (•, •)) — сепарабельное гильбертово пространство, dim"H — его размерность.

3. Область определения оператора А обозначается через DomA, его ядро через ker А, его спектр через а (А), резольвентное множество через р(А), а резольвента — Я(А).

4. Lp = LP(X) — пространство комплекснозначных функций с

нормой ||/||р = (J Loo — Loo(X) — пространство измеримых, ограниченных в существенном на X С Rn функций с нормой ||/||оо = ess sup f(x),

где I • I — естественная норма в Rn.
l/p
f(x)pdx) ,1<р<оо.

Доказательство. Поскольку /3 = 1, то ^ < оо и Я0(А) € ©2,
4=1 Л‘
А € П. Рассмотрим операторное тождество
Д(А) = До (А) - Я0(А)РДо(А) + Р(А)(РДо(А))2, А е П.
Умножим его обе части на проинтегрируем по прямой Г* и
27гг
найдем след. Получим
8рЧ/ й(А)Д(А)<гА = д,(А)До(Л)с(Л-
-Эр г,(А)Л0(А)РЛ„(Л)ЙА + Зр^^ г,(А)Д(Л)(РД„(А))2<(А.
В силу компактности Ро(А) и Р(А) [54, с. 270] имеем представление в виде ряда [31, с. 348]
ъм = Е УЧ + л(д) = Е -Ч;+^Л>-
лУ« Л‘ - Л
где 14 и 6Д- — проекторы на собственные подпространства, соответствующие собственным числам А^ и
14 {.' ^А: (')
пд)=ЕтЧт“ё=Е
Л,>С, Л* Л Ы><
регулярные в области {А € С : 11еА < сг} [67]. Теперь найдем
Зр (Ч /Г,*(*>*<*>")