Преобразование Лапласа и дифференциальные подстановки нелинейных гиперболических уравнений

• Автор: Кузнецова, Мария Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 170 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения
§1. Преобразование Лапласа первого порядка
§2. Преобразования Лапласа второго порядка
§3. Преобразования Лапласа тг-го порядка, п >
§4. Периодическая цепочка преобразований Лапласа
Глава 2. Гиперболические системы нелинейных уравнений и преобразование Лапласа
§5. Гиперболические системы нелинейных уравнений с нулевыми инвариантами Лапласа
§6. Гиперболические системы нелинейных уравнений, линеаризации которых связаны преобразованием Лапласа
Глава 3. Нелинейные гиперболические уравнения и дифференциальные подстановки
§7. Дифференциальные подстановки V = (р(и, их)
§8. Дифференциальные подстановки и = 'ф(у/их)
§9. Дифференциальные подстановки у — <р(и, иХ1 иу)
§10. Дифференциальные подстановки и = ух, уу)
§11. Симметрии модифицированного уравнения синус-Гордона
Заключение
Литература

Введение
На сегодняшний день является открытым вопрос о полной классификации интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений вида
иху = f(x, у, и, их, щ) (0.1)
Этой проблеме посвящено множество работ, в которых понятие интегрируемости рассматривается в различных аспектах.
Самой первой решенной классификационной задачей явилась классификация интегрируемых уравнений Клейна-Гордона vxy = F(v), обладающих высшими симметриями [11]. Симметрии были эффективно использованы в классификационных задачах, касающихся эволюционных уравнений [28, 5, 26, 29, 27, 25, 32, 33]. Поскольку симметрийный подход оказался трудоемким для описания всех интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений вида (0.1) развитие получили другие альтернативные методы классификации. Здесь нельзя не отметить недавно появившуюся работу [56], в которой проведена классификация уравнений вида (0.1), обладающих симметриями третьего порядка. Авторы использовали оригинальный подход, принимая в качестве определения уравнений типа сипус-Гордона наличие симметрий, являющихся интегрируемыми эволюционными уравнениями третьего порядка, полный список которых известен [28].
Дарбу использовал для исследования интегрируемости уравнения метод каскадного интегрирования Лапласа (см., например, [47, 61, 62]). В работах [42, 43, 10, 8] в качестве определения точно интегрируемого уравнения лиувиллевского типа было выбрано свойство двустороннего обрыва цепочки инвариантов Лапласа линеаризованного уравнения. Более того, в обзоре [10] приведена полная классификация точно инте-

грируемых уравнений (0.1) лиувиллевского типа и приведен алгоритм нахождения общего решения. В работах [35], [36] были описаны свойства обобщенных инвариантов Лапласа нелинейных уравнений, обладающих дифференциальными подстановками.
Настоящая диссертация посвящена задачам классификации нелинейных гиперболических уравнений вида (0.1) в рамках концепции дифференциальных подстановок. В отличии от вышеупомянутых работ, такой подход позволяет не только классифицировать уравнения вида (0.1), но и обеспечивает список преобразований типа преобразований Миуры и Бэклупда, задача описания которых сама по себе является одной из важных в теории интегрируемых нелинейных уравнений и довольно сложной.
Дифференциальные подстановки типа преобразования Миуры являются общеизвестными преимущественно в теории интегрируемых эволюционных уравнений (см., например, [57, 30, 31, 34]). В знаменитой работе [57] Миура предъявил преобразование V — их — и2, связывающее решения модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза (мКдФ) щ — иххх — 6и2их и уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) у1 = иххх + 6тхг. По этой причине указанное преобразование па сегодняшний день носит имя своего автора.
Изначально преобразование Бэклупда [44] обозначилось как обобщение построенного в результате геометрических рассуждений преобразования Бианки-Ли [45, 55]. Не углубляясь в геометрическую сторону вопроса отметим, что последнее переводит поверхность отрицательной постоянной кривизны в поверхность той же кривизны. В классических работах [46, 48, 49] преобразования Бэклупда рассматривались для пары дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и представлялись в виде системы четырех соотношений, связывающих решения указанных уравнений и содержащих независимые переменные, функции и первые производные от функций. Специальный вид четырех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка обуслав-
1 Передавая буквально, если и удовлетворяет мКдФ, тогда в удовлетворяет КдФ Если в удовле-
творяет КдФ, тогда любое решение уравнения Риккати в = их — и2 является решением мКдФ.

Допустим, что верно (2.38). Тогда из (2.37) следует, что (к-)и = О, а из (2.34) - что = 0. Таким образом, функция (2.30) принимает вид
а, значит, функция Т1, описанная формулой (2.25) представляется в виде
Теперь подставим функции (2.24) и (2.41) во второе соотношение (2.5):
Здесь используется обозначение £ = щ — q. Применим к последнему соотношению дифференцирование по параметру т:
Здесь через Г>т обозначен оператор дифференцирования по параметру т. Отметим, что
п 1 ; _ - ~П(Фщщ) - ФщщФщ)й2 +
где многоточием обозначены слагаемые, не содержащие переменную «2. Следовательно, выписывая в равенстве (2.42) коэффициент при щ, получаем
{Фщйф Т ФщщФщ — 0 или более подробно
ФййХ Т Фйхщи'Ч'Х Т фщщйх ( 0:141 Т ф) Т ФщйФй
В силу независимости переменных и, щ, щ, последнее равенство эквивалентно следующей системе:
Фщщи 4~ Осфщщщ 0; Фщйхх + ФийгщФ Т" ФщщФщ 0- (2.43)
Интегрируем первое уравнение по переменной щ:
Фиги + афщщ = сг{х,у}и).

г(х,у)
Ф фх,у,ф = Фщ(х,у,и,и1) + В(ка{х,у,и,и1,и1,и2)).
а{х,у) а{х,у)
-Фцк-г(у1 - фщУ) = фщиУ + фщщУх + Пт{р 1п кф).
(2.42)