Об усреднении решений уравнения Пуассона в перфорированных областях с различными краевыми условиями на границе разных полостей

• Автор: Воробьев, Антон Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 96 с. : ил.

Глава

Задачи усреднения в перфорированной области с классическими краевыми

условиями

1.1 Общие обозначения

1.2 Вспомогательные утверждения

1.3 Усреднение уравнения Пуассона в периодически перфорированной области, ячейка периодичности которой содержит две полости с краевым условием Дирихле па границе одной полости и смешанным краевым условием

на границе второй

Глава

Задачи усреднения вариационных неравенств в перфорированных областях

2.1 Усреднение однородной задачи Снньорипи в области с произвольной плотностью перфорации
2.2 Усреднение неоднородной задачи Синьоринп в периодически перфорированной области
2.3 Усреднение уравнения Пуассона в периодически перфорированной области, содержащей две полости в ячейке периодичности на границе одной нз которых заданы однородные условия Синьорини, а на второй смешанное краевое условие
2.4 Задача с препятствием
Иллюстрации
Библиография

Многие задачи механики сильно неоднородных сред, композитных материалов, микроэлектроники приводят к необходимости построения усреднённых моделей этих сред. Требуется построить модель среды, локальные свойства которой резко меняются, и поэтому удобнее перейти от микроскопического описания к макроскопическому, т.е. рассматривать усреднённые характеристики такой среды. Во многих случаях рассматриваемые физические процессы в сильно неоднородных средах описываются уравнениями с частными производными. Математическое описание сильно неоднородных сред часто основано на предположении о наличии у таких сред какой-либо упорядоченной микроструктуры (например, периодической в самой области или периодичности возмущений на границе). Это приводит к рассмотрению краевых задач для уравнений с частными производными в периодически перфорированных областях, краевых задач для областей с быстро осциллирующей границей, задач с осциллирующими коэффициентами. Доказательство теорем существования и единственности решений задач такого вида проводится классическими методами и обычно не вызывает дополнительных сложностей. Между тем нахождение самих решений точными методами не всегда возможно. Приближенные же методы решения задач этого вида требуют непомерного объёма вычислений. Теория усреднения стала тем новым подходом, который позволяет свести решение исходных задач к решению более простых, которые уже могут быть решены по классической схеме.
Рассмотрению данного рода проблем посвящены многие работы, опубликованные в течение последних 50 лет. Наиболее ранними в этой области стоит считать работы Е. де Джорджи и С. Спаньоло [23] - [25], где были введены понятия С-сходимости и усреднения семейства операторов и изучены основные свойства (7-сходимости эллиптических операторов второго порядка дивергентного вида. Общая теория (7-сходимости была построена O.A. Олейник, В.В. Жиковым, С.М. Козловым в работах [26], [27] и монографии [32]. Вопросы поведения решений краевых задач для уравнений в частных производных для перфорированных областей были рассмотрены в шестидесятые годы двадцатого века в книге В.А. Марченко и Е.Я. Хруслова [17]. Усреднению процессов в периодических средах посвящены монография Н.С. Бахвалова и Г.П. Пана-сенко [28], а также монография Э. Санчес-Паленсия [33]. Кроме того в работах O.A. Олейник, A.C. Шамаева и Г.А. Иосифьяна [20] - [22] получены оценки отклонения решения краевой задачи для эллиптического уравнения и для систем теории упругости в перфорированной области от решения соответствующей усредненной задачи. Вопросы усреденения систем теории упругости рассматирваются в монографии O.A. Олейник,
A.C. Шамаева и Г.А. Иосифьяна [1].
Статья O.A. Олейник и Т.А. Шапошниковой [2] посвящена усреднению задачи Неймана в периодически перфорированной области с произвольной плотностью перфорации. В работе [8] рассматривается усреднение смешанной краевой задачи в частично-перфорированой области с произвольной плотностью перфорации. В статье [13] изучен вопрос об усреднении краевых задач в области с непериодической структурой. В совместной работе В. Егера, O.A. Олейник и Т.А. Шапошниковой [6] рассматривается задача усреднения, когда ячейка периодичности имеет две полости на границе одной из которых задано смешанное краевое условие, а на другой — условие Неймана.
В последние годы успешно развивается теория усреднения различных вариационных неравенств, соответствующих краевым задачам с различного рода ограничениями на границе. Так в работе Даль Мазо [30] изучено асимптотическое поведение задачи минимизации функционала /п (Du2 + д(х, и)) dx с двусторонними препятствиями типа ф£ < и < ф£, где {фЕ},{'Фе} — последовательности произвольных функций из К11 в R. Работа [29] описывает усреднение решений последовательности вариационных неравенств для бигармонического оператора с переменным двусторонним препятствием. Г.А. Иосифьяном в [14] получены теоремы усреднения для задачи минимизации квадратичных интегральных функционалов на множестве допустимых функций, удовлетворяющих быстро осциллирующим периодическим ограничениям на границе перфорированной области. Публикация [9] освещает вопросы усреднения односторонних краевых задач для упругих тел с изрезанной поверхностью

Глава
Задачи усреднения вариационных неравенств в перфорированных областях
3) В силу теоремы вложения имеем є Са($ї),з — 1,... ,7і. Учитывая, что |У/ь| < Кмє~1, получим
где П] = {х е Пг|р(:г,ЗП) < 2ре}. Тогда, учитывая, что количество ячеек вида У£, имеющих непустое пересечение с £2* не превосходит <1е1~п, получим
Через 1Ке обозначим продолжение функции / /г£Д^ Є Яі(П£, Ге) на неко-

торую область П0і є Н°(С1о), как это было сделано в предыдущих случаях. Тогда воспользовавшись неравенством Гёльдера и теоремой вложения выводим
ІЛ-І < £||/і£Я|Я2но||і,2(п£)||У^||і2(п£) < єЩП‘2и0\Ь2[По)\Ч-ф\Шс) <
< Яі09в||И/£||я1(П0)ІР2Ио||і,(П0)||У^||І2(п£) <
< Яц0£:||/і£Я}||я1(пс)І|Я2ноіи,(По)ІІ^^іи2(и£)- (2.145)
4) Аналогично имеем

£_1[^Я||и2(П.) < Кта!є=^, ІМкдп') < Яю7в||У^||і2(иі).
Следовательно,
Іс < Л'і08(а££-І)!||У^||І2(пг).
(2.144)
5) Перейдём к оценке интеграла