Об уравнениях с нелинейными дифференциалами

• Автор: Васильева, Инна Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 102 с.

Оглавление
Введение

1 Уравнения с нелинейными дифференциалами

1.1 Постановка задачи

1.2 Основные определения и понятия

1.2.1 Уравнения с нелинейными дифференциалами

1.2.2 Квазипотоки

1.2.3 Транзитные квазипотоки

1.3 Теорема о существовании, единственности и свойствах

решения задачи с нелинейным дифференциалом

1.3.1 Теорема о существовании, единственности и свойствах решения задачи (3)-(4)

1.3.2 Лемма о свойствах ^[АЦх
1.3.3 Лемма о расстоянии между 7[Л]^ж и 7[В]^х
1.3.4 Лемма о существовании
1.3.5 Лемма о единственности
1.3.6 Лемма о правой производной
2 Применение уравнений с нелинейными дифференциалами для описания негладких процессов
2.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения
2.2 Модель оператора упора
2.3 Задача Коши в условиях типа Каратеодори
2.4 Дифференциальные включения с максимальными монотонными операторами
2.4.1 Применение основной теоремы к дифференциальным включениям с максимальными монотонными операторами

2.4.2 Пример включения с многозначным максимальным монотонным оператором
2.5 Применение уравнений с нелинейными дифференциалами для моделирования электрических цепей
2.5.1 Описание двухфазного тиристорного выпрямителя
2.5.2 Построение математической модели двухфазного тиристорного выпрямителя
2.5.3 Теоремы о локальной и глобальной разрешимости
2.5.4 Численный эксперимент
3 Моделирование процессов с импульсным воздействием
3.1 Уравнения с импульсным воздействием как дифференциальные уравнения с нелинейным дифференциалом
3.2 Модель оператора упора с импульсными воздействиями
Литература

Введение
Для исследования негладких эволюционных процессов традиционно применяются методики, связанные с различными обобщениями понятия решения дифференциального уравнения. Среди них можно отметить теорию Каратеодори, используемую, например, в известных работах Э.А. Коддингтона, Н. Левинсона [12], А.Ф. Филиппова [33]; теорию дифференциальных уравнений с разрывной правой частью [33]; теорию дифференциальных включений ( Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский [5, 6], J.P. Aubin, Н. Frankowska [39], М. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca [42]), в частности, включений с максимальными монотонными операторами (Н. Brezis [40], K. Deimling [41], Ж.-П. Обэн, И. Экланд [19]), в рамках которой используются такие обобщенные понятия как, например, контингентные производные (J.P. Aubin, A. Cellina [38]); негладкий анализ, в частности, субдифференциальное исчисление выпуклых функций (Р. Рокафеллар [25], Ф. Кларк [11], В.Ф. Демьянов, А.М. Рубинов [8]); теорию гистерезиса (М.А. Красносельский, A.B. Покровский [16]); теорию обобщенных функций, широко используемую в работах по изучению систем с импульсным воздействием (В.Д. Мильман, А.Д. Мышкис [17, 18], H.A. Перестюк, А.М. Самойленко [29, 30, 31], С.Т. Завалищин [9, 10], Е.А. Барбашин [2], А. Халанай, Д. Векслер [36]); теорию построения разностных схем (А.Н. Тихонов [32], A.A. Самарский [27, 28], Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков [3, 4], Д.К. Фаддеев [34], см. также [1], [35]).
В диссертации развивается иной подход к решению такого типа задач. В его основу положена идея изначального описания негладкого процесса с помощью разностных схем (или конструкций подобного рода) с последующим выявлением условий, при которых рассматриваемые разностные схемы сходятся к некоторой функции,

1.3.3 Лемма о расстоянии между 7[Л\х и 7[B]8tx
Лемма 2. Пусть выполнены условия (8)-(12). Пусть А и В - два разбиения, такие, что таx{d(A),d(B)} < X. Тогда
||7№-7№И <2ü{X){E{t,s)-E{t,t)). (27)
Доказательство. Пусть С — А и В. Покажем, что
ЫА]*х - j[C]stx\ < Q(d(A))(E(t, s) - E(t, t)). (28)
(27) будет вытекать из (28) и аналогичного неравенства для В. Как
и раньше, обозначим через т число точек разбиения А, попавших
в интервал (t,s). При т — 0 соотношение (28) вытекает из (25), поскольку s — t < d(A). Пусть т = р + 1. Тогда
Д := II 7[ф - 7№|| < ll^r* - 7;tl7|CJ7‘x|| +
+ ||7^.7И7'х-7[С]^17И71х||.
Воспользовавшись свойством (16) и предположением индукции для первого слагаемого и доказанным в лемме 1 свойством. (25) для второго слагаемого, получаем
А < E(ap+i, s)Q(d(A))(E(t,av+i) - E(t,t)) +
Т n(d(j4)) (£,(dp+1, s) Е{с1р--1, Яр+i)) —
= Q(d(A))(E(t, s) - E(ap+i,s)(E(t,t) - 1) - E(ap+hap+1).
В силу свойств E окончательно получаем
А < Q(d(A))(E(t,s) - E(t,t)).
Лемма доказана.