Об оценках решений задачи Коши для уравнений типа Шредингера в пространствах Lp и Bpq

• Автор: Шлекис, Пятрас Пятрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 c. : ил

Глава I. Условия корректности задачи Коши для уравнения типа Шредингера

в паре пространств (А р , Л р )

§ I. Необходимые^ус'ловия корректности

§ 2.. Достаточные условия.корректности

Глава II. Случай уъ =

§ I. Вспомогательные утверждения

§ 2. Необходимые и,достаточные.условия

корректности

Глава III. Условия корректности задачи Коши

для уравнения типа Шредингера в паре

анизотропных пространств* (-Ар , Ар ]

§ I. Необходимые и достаточные условия
корректности в.паре анизотропных
пространств
§ 2. Некоторое обобщение задачи Коши для
уравнения типа Шредингера
Литература

Рассмотрим следующую задачу Коши:
ь Фг = Р(»и . ^>0> (ОЛ)
а Ь
и (о) = ио , (0.2)
где Р(й) - дифференциальный оператор с постоянными коэффици-
/ ч П _ ЛО /ь/ I ' Л)
ентами: Р(^) = 2] о^й , е £ , О =■ «, -—— -
/ос/ 6 ИД, 0 X, ...дХ^
1‘*'1 - "Ч» + оСх + - порядок мультииндекса
- (°С^> > 06 А
Для любой начальной функции и0 из пространства быстро убывающих функций Э - 3 (& ) существует единственное решение задачи Коши (ОЛ), (0.2), принадлежащее С({"Ь^о]> в) Л
ЛС(^>о],5) ( см., например, [3]); при этом, также
как и для уравнения Шредингера, справедлив следующий "закон сохранения": || и (■Ъ) || ^ = || и о || |_^(0 ‘
Естественно возникает вопрос о существовании оценок
Ци(0|| « С(-Ь) ||«о II. Л го , Уи„е. 5(<С),
Р Р
решения задачи Коши для уравнения (0.1), которое в дальнейшем будем называть уравнением типа Шредингера. Наряду с этими оцен-

нами будем исследовать вопрос и о существовании более общих оценок для решения задачи (0.1), (0.2):
Иы(^)1|)° * С(^,і)ІІиоІІі * > Уио£ 5, (О.з')
Р LP
II и (і) || о і С(*Л)\и0] , £>с>, Уиоб 5. (О.з")
ЬР<£
I ^ I °С /• И,
где *-р = [_р ( Й ] , 7 <■ р * ,- пространства Лиувилля ( Ь р = І- р ), а В
у/ с р с °о , Л < ^ < оо , ос > о , - пространства Бесова. Как показано в диссертации, условия существования оценок (0.3 ) и (О.з”) совпадают и не зависят от . Поэтому в дальнейшем будем исследовать вопрос о существовании оценок вида
Ци(і)|| о 4 с (■<-,*) IIЫ о II . Ьо , Уи0ё 5, (0.3)
др Р
А ОС ос
0 - либо пространства Лиувилля /_ 0 , либо простр Р

ранства Бесова о р
В первых работах, посвященных этим вопросам, исследовалась задача Коши для волнового уравнения
Л*
Ыи = Л Ы Є ^ 4) , І > О,
(0.4)

Ч'К, >4>ь ь р>)
(**)3‘хг,р1)
-гГ5(Г,(х„ Ъ.Р, р.р), С, у, , /, £( £)
/.< .■ 7>*-б(г,(х<,*1,,р'> р^рьъ.ъ.р'. р1, р)
■ «р (- т 5Т ЧГр —
Поскольну [ О. 4 1 ^ + 00 , С = У, Л , то из (2.17)
и С2.18) получаем
ИчИи (Й'Х,*Й'ХЬ)- 0(КЪ^), (2.19)
равномерно, по. В.С € В>- у ь-/1,
Из (2.9), (2.14), (2.15), (2.19) получаем (2.8).
§ 2. Необходимые и достаточные условия корректности
Рассмотрим задачу Коши (1.1), (1.2), когда размерность и. = . Если А ('Т)фо , то из работ [12, 30
теоремы I следует, ЧТО условие <*- ^ ( ~р - ■£ | является
необходимым и достаточным для корректности задачи Коши (1.1),