Множественность решений краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений

• Автор: Колоницкий, Сергей Борисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 103 с.

Оглавление
Введение

Список обозначений

1 Задача Дирихле для обобщенного уравнения Хенона

1.1 (т, к)-радиальные решения при больших а

1.2 Множественность решений при больших а

1.3 Множественность решений при больших 7 ..

2 Множественность решений задачи Дирихле в трехмерном тонком сферическом слое

2.1 Некоторые вспомогательные утверждения

2.2 Решение краевой задачи в трехмерном слое

3 Суперкритическая множественность в четномерных тонких сферических слоях

3.1 Четырехмерный случай
3.2 Случай произвольной четной размерности
Список литературы

Введение
Качественные свойства решений дифференциальных уравнений в частных производных активно исследуются в последние полвека. Разнообразным аспектам качественной теории посвящены работы [12], [13], [46], [14], [29], [19], [32], [6], [8], [33], [51], [4], [3], [15] и многие другие.
Диссертация посвящена эффекту возникновения множественных положительных решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений вариационной структуры. Впервые этот эффект был открыт Коффманом [26], который показал, что при п — 2 задача
—Аи — и9-1 в П, ит = 0, (0.1)
в кольце Л = Вц+1 В я С Ж" имеет любое наперед заданное количество неэквивалентных (то есть не получающихся друг из друга при помощи поворотов) положительных решений при д>2, если К достаточно велико.
В работе [34] этот результат был обобщен на случай п^4, 2 < д < 2* = а также построены нерадиальные решения задачи (0.1) в достаточно тонком слое при некоторых <7^2*. Отметим, что в коротком замечании в конце работы [26] была сделана попытка обобщения основного результата на случай произвольного четного п, но, как указано в [9], это замечание в [26] нельзя считать обоснованным.
В [35] была предпринята попытка усилить результаты [34] и, в частности, получить соответствующее утверждение при п — 3. Однако в доказательствах [35] имеются серьезные пробелы. Более того, как показано в [20] с использованием результатов [39], «грубый» метод, использовавшийся в [34] и [35], вообще не может дать при п — 3 более пяти неэквивалентных нерадиальных решений.
В работе [20] трехмерная задача была решена с помощью существенно более деликатной техники — минимизации функционала энергии для задачи (0.1) при специальных дополнительных ограничениях, с использованием принципа концентрации Лионса ([36]) и тонких поточечных оценок решений. В [24] был предложен несколько иной метод, основанный на той же идее, который позволяет строить решения (0.1) при любом п > 2 с предписанной группой симметрий.
Дальнейшие статьи о множественности положительных решений (0.1) и других задач аналогичной структуры не поддаются учету; упомянем в связи с этим лишь недавние работы [40], [38], [41], [37], [52].
Заметим, что авторы перечисленных работ рассматривают лишь уравнения с оператором Лапласа в главной части. В то же время, как было показано в [10], при п^З «грубая» техника дает возможность не только усилить результаты [34], но и распространить их на задачу
—А ри = ич~1 в и|ш = 0, (0.2)
где Ари = с1гу (|Уи|р_2Уи) - р-лапласиан, при произвольных 1 < р < оо и р < д < р* (при < < р положительное решение задачи (0.2) единственно). Также в [10] был обнаружен «двойственный» эффект множественно-

где Я - радиус из леммы 11. Квадратная скобка в (1.22) отрицательна при больших д, откуда следует утверждение леммы.
Пусть теперь 2 ^ р < п. Тогда можно рассмотреть приращение (ср. доказательство Леммы 3.1 [10])
Ь — и-^и^і) Є Д(т,о,о бі Ьоо(Ві).

Аналогично выводу (1.21) имеем ^D2J[u(h, /г) ^
|^т| п

< (£А + (£ — 1)(р — 1)) I ^7ир~2^с1х — (д — р)б[и J ичгачдх.
В Вг
Оценим первый интеграл сверху по неравенствам Гельдера и Харди.
Учитывая нормировку и, получим
^£>2.7М(Л,Л)

< (М + (* - 1 )(р - 1))||Уг4||р_2||у]|р - (д - р).7[и] <
(А)2(М + (£-1)(р-1))-(д-р) .7[«]. (1.23)
Квадратная скобка в (1.23) отрицательна при больших д, откуда следует утверждение леммы. □
Лемма 13. Пусть выполнены условия Леммы 3.2, и р ^ п. Тогда при достаточно больших д функция не является (т, 0)-радиальной.
Доказательство: Поскольку при р > п функция иггп^,о) существует для всех д < оо, утверждение леммы немедленно следует из Леммы 12. □