Об одном классе дифференциально-инвариантных решений

• Автор: Ланкерович, Михаил Яковлевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 134 c. : ил

Глава I. Групповой анализ дифференциальных уравнений II

§ I. Предисловие

§ 2. Основные определения

§ 3, Вычисление основной группы

§ 4. Групповая классификация

§ 5. Инвариантные и частично инвариантные решения

§ 6. Групповое расслоение систем дифференциальных

уравнений

§ 7. Другие вопросы группового анализа

Глава 2. Дифференциально-инвариантные пешения класса

2>1~(Н)
§ I. Определение
§ 2. "Размерность" системы дифференциальных уравнений
§ 3. Теорема существования дифференциально-инвариантных решений класса 3)1, СН)
§ 4. Теорема о редукции дифференциально-инвариантных
решений класса 2)1” (Н)
§ 5. Связь между дифференциально-инвариантными решениями класса !>1ГШ и групповым расслоением
Глава 3. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений
§ I. Алгоритм понижения порядка обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения,допускающие группу максимальной размерности
§ 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие группу размерности, на единицу меньше

максимальной
§ 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие группу размерности, на два меньше максимальном
Глава 4. Групповой анализ уравнений пограничного слоя
§ I. Уравнения стационарного пограничного слоя
§ 2. Групповая классификация системы уравнений стационарного пограничного слоя
§ 3. Система уравнений стационарного трехмерного пограничного слоя на произвольном поверхности
§ 4. Две вспомогательные леммы
§ 5. Групповая классификация системы уравнений стационарного трехмерного пограничного слоя на произвольной поверхности
§ 6. Примеры группового расслоения уравнений пограничного слоя
Глава 5. Дифференциально-инвариантные решения класса
£>1*(Н)
§ I. Определение
§ 2. Теорема существования дифференциально-инвариантных
решений класса г>1'(н)
§ 3. Теоремы о редукции
§ 4. Алгоритм понижения "размерности" системы дифференциальных уравнений
§ 5. Примеры применения алгоритма понижения "размерности" системы дифференциальных уравнений
§ 6. О системах дифференциальных уравнений первого порядка
Предметный указатель
Литература

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Теория групповых свойств дифференциальных уравнений, возникшая в конце XIX века в работах норвежского математика Софуса Ли и его учеников, переживает в настоящее время второе рождение. Она широко применяется при изучении нелинейных дифференциальных уравнений и их систем, при решении которых часто возникают определенные трудности.
Для таких систем получили распространение методы, основанные на знании классов частных решений, а групповой анализ дифференциальных уравнений и дает нам алгоритмы нахождения некоторых классов частных решений, таких, например, как инвариантные и частично инвариантные решения. Причем их отыскание основано на использовании конечных инвариантов основной группы Ли преобразований, допускаемой данной системой дифференциальных уравнений. Наряду с решениями, которые можно найти при помощи конечных инвариантов допускаемой группы, естественно поставить вопрос и об отыскании решений с использованием дифференциальных инвариантов. Такие решения называются дифференциально-инвариантными. На актуальность их изучения указывается в новой монографии Л.В.Овсянникова [29] , где впервые и определяется это понятие.
Цель работы заключается в изучении некоторых классов дифференциально-инвариантных решений, которые можно построить с помощью дифференциальных' инвариантов первого порядка основной группы Ли преобразований, допускаемой данной системой дифференциальных уравнений, в выяснении связей дифференциально-инвариантных решений с инвариантными решениями исходной системы /теоремы о редукции/ и в применении этих результатов ко многим практически важ-

+ = ^хл +
Е: ^ + /1^ + Д, = 1/хх + иу
*х + 1/^
Ее "размерность", как показано в §2, равна семи / /Г| = 7>
> /7/^ = <Г /•
Т.к. в системе /24/ количество неизвестных функций /Л , V', ^ равно трем (щ^Ъ) , то возьмем трехпараметрическую
подгруппу // основной группы Ли [ 45 ] , допускаемой
этой системой Е с базисом алгебры Ли операторов ^1,Э='9Ху ^•'Э=9>/ ^ 5^'9= ^ . Эти операторы линейно не связаны. Универсальный инвариант Г продолженной группы имеет координам: 4=й-Д=иД^х, 4=Л, 4'ЛНазначим дифференциальные инварианты первого порядка Г5
функциями от конечных инвариантов 4, Г* получим автоморф-ную систему , содержащую пока произвольные функции
л%^а(иу)
(А у — С ^0
ЦТ. = ^ /25
Г’ ^ = У(Ч I
Д =е(и^}
Д = £ <4 V)
Следуя алгоритму, данному при доказательстве теоремы I, вычислим из соотношений /25/ старшие производные: £/хх = (X + 2?„
, /ху^с^ч-с^, Аух = *(«а+
Ауу - с/ц £+0(^0/^ Д ^ + &У, ; Дух~ 5~0(& * £~,гС
и подставим их в уравнения системы /24/, к которой добавлены условия совместности иху~иух^ ^/у = ^/Ху/^Хуу^Х. Получим