Многоточечная нелокальная спектральная задача для уравнения Штурма-Лиувилля на полуоси

• Автор: Каримов, Миндиахмет Галимжанович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 91 с.

Глава 1. Спектральные свойства невозмущенных операторов М° и Ь°
§1. Оператор М° и ее резольвента
§2. Особенности резольвенты оператора М°
§3. Разложение резольвенты оператора М°
§4. Спектральные свойства вспомогательного оператора Ь°
§5. Разложение по спектру оператора Ь°
Глава 2. Спектральные свойства оператора Ь
§6. Определение возмущенного оператора А
§7. Асимптотика дискретного спектра оператора А
§8. Анализ множеств од(А) и а3(Ь)
§9. Асимптотическое поведение отрицательного спектра
§10. О спектральных проекторах оператора А
Список литературы
В диссертации изучаются многоточечная и двухточечная нелокальная спектральная задача для уравнения Штурма-Лиувилля на неотрицательной полуоси.
При моделировании различных процессов физики, химии, экологии, биологии часто возникают задачи, когда вместо классических краевых условий задана определенная связь значений искомой функции на границе области и внутри ее. Задачи такого типа называют нелокальными задачами.
В настоящее время особый интерес к нелокальным задачам обусловлен, с одной стороны, значительными теоретическими достижениями в данном направлении и, с другой стороны, важными приложениями, возникающими в таких областях, как: теория плазмы [1, 58], биофизика, теория диффузионных процессов [73, 74], теория многослойных пластин и оболочек [52, 70], физики полупроводников и гидромеханики
[4].
В одномерном случае нелокальные задачи изучали еще A.Sommerfeld [69], Я.Д.Тамаркин [62], M.Picone [72], A.М.Krall [67] и др.
В работе Аллана М.Кралла изучается оператор L, порожденный
в ü2(0, оо) дифференциальным выражением £{у) = —y" + q(x)y и
граничным условием вида
I K(x)y(x)dx - ßy(0) + ау'(0) = О,
где К(х) € ,£2(0,оо), |а|2 +1/3|2 > 0. Если К(х), д(х) 6 оо) и а^О, то строение спектра такое же, как в случае краевого условия 2/(0) = 0. В частности, собственные значения образуют не более чем счетное ограниченное множество с предельными точками только на полуоси (заполненной непрерывным спектром) А > 0.
В двумерном случае, по-видимому, одна из первых работ, посвященных нелокальным задачам, принадлежит Т.Саг1етап [68]. В его работе ищется гармоническая в области (7 функции, удовлетворяющей следующему нелокальному условию на границе Т области: значение неизвестной функции в точке у е Т связано со значением в точке <*}(у), где ш : Т —* Т — преобразование границы, удовлетворяющее требованию = у, у Е Т. С такой постановкой задачи связаны дальнейшие исследования нелокальных эллиптических задач со сдвигами, отображающими границу области на себя, и абстрактных эллиптических задач [6, 65, 66].
В 1969 году А.В.Бицадзе и А.А.Самарский [1] рассмотрели возникающую в теории плазмы математическую модель нелокальной задачи следующего вида: ищется гармоническая в прямоугольнике б? = {у £ М2 : — 1 < 2/1 < 1, 0 < 2/2 < 1} и непрерывная на б функция 42/1,2/2), удовлетворяющая условиям
42/1,0) = 51(2/1), 42/1,1) = 52(2/1), -1 < 2/1 < 1,
4-!,2/2) =53(1/2), 41,2/2) =40,2/2), 0 < 2/2 < 1,

4(Д п 1 Л~'ї. ^ І А"
+— Е К(х, т + — / хк°(х2шх + — І лі?°(а2)мл +
7Гг д.=1 “ 7Г?. і 7Г7, ■
-Я«
Ап+¥>
71-1 1 ^+1-^
+ Е — / хк°(х2шх. &=-«
(5.12)
А*. 4-у?
Положим Цк = Ал, + <>>А,+1 ^; тогда -/4 = Цк-1, Ль = Цк и последние три интеграла в правой части равенства (5.12) можно записать в виде
1 77—і

' к~Ч> Цк
./ + ./ /^-1 Аа:+{/Р
1 п—1 ' к~ф Цк
Е 1 +
7гг к——п /4-і АЩ^
хАД°(А2)ЫА +
7Г& к
' к-ір №
і + I
/4-і Ьк+Ч>

А - А?'
(5.13)
Так как

' к-<р
і + I
Н-к- 1 А/,;+(/Р
АсіА 7г X- Х°к = а ~
то интеграл существует в смысле главного значения по Коши. Следовательно, равенство (5.12) имеет вид

- / АЛ°(А2)ЫА = —у.р. / ААа(А2)ЫА. (5.14)
7Г1 ■! 7Г9. о
Т„м -д„
Используя теорему 5.1 доказываем сходимость равенства (5.9). Аналогично доказываем теорему и при А — — 1. Теорема 5.2 доказана.
Для дальнейшего нам потребуется также следующая
Лемма 5.1 Пусть |А| < 1. Тогда операторы (4-Л) допускают оценки:
1. при г£[0,оо) ||Я"с(г)|| <

Іт г] ’