О нелокальных задачах Соболева

• Автор: Нгуен Ле Линь
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 68 с.

Содержание
Введение

1 Нелокальные задачи Соболева для действий конечных групп

1 1 Элементы относительной эллиптической теории

1 2 Постановка нелокальных задач Соболева

1 3 Сведение нелокальной задачи Соболева к локальной задаче

1 4 Эллиптическая теория для задач Соболева с действиями конеч-

ных групп

2 (7-трансляторы на многообразиях с изолированными особенностями

2 1 Трансляторы на многообразиях с особенностями

2 2 Многообразие с точечными особенностями и действием группы б
2 3 Эллиптические (7-трансляторы
2 4 Сравнение эллиптичности трансляторов и (7-трансляторов
2 5 Формула индекса (7-трансляторов на многообразиях с изолиро-
ванными особенностями
3 (7-трансляторы на многообразиях с многомерными особенностями и оснащения
3 1 Многообразие с многомерными особенностями и действием группы
3 2 Эллиптические (7-оснащення
3 3 Сравнение эллиптичности оснащения и (7-оснащения
3 4 Формула индекса С-оснащений
4 Решение нелокальной задачи Соболева с помощью теории С-трансляторов. Пример
Список литературы

Введение
Диссертация посвящена построению эллиптической теории для задач Соболева (см [1]) в случае, когда на многообразии действует некоторая конечная группа При этом, под задачей Соболева, или относительной эллиптической теорией, понимается эллиптическая теория на паре (гладкое многообразие, гладкое подмногообразие), когда (ко)граничные операторы задаются на подмногообразиях произвольной коразмерности Такую теорию для случая тривиальной группы построил Б Ю Стернин в 1966г В частности, были доказаны теоремы конечности (фредгольмовости) и даны явные формулы индекса В дальнейшем она разрабатывалась многими авторами С П Новиков, В Е Назайкинский, В Е Шаталов, А Ю Савин, Б Ю Стернин и др (см напр [2-5])
В последние годы в эллиптической теории на гладких многообразиях получила развитие так называемая С?-теория, те эллиптическая теория ассоциированная с действием некоторой группы О на многообразии Стоит подчеркнуть здесь, что С-теория несравненно более сложна, нежели обычная эллиптическая теория, что видно, например, из того, что она является нелокальной уже в случае, когда группа, действующая на многообразии, является группой сдвигов Поэтому выяснение фредгольмовости такой задачи - дело весьма непростое Еще более сложной проблемой является получение формул индекса для описанной ситуации Дело в том, что операторы, ассоциированные с группой (7, действующей на многообразии уже не являются псевдодифференциалъпыми операторами, и поэтому проблема Гельфанда о вычислении фредгольмова индекса в терминах топологических инвариантов многообразия, на котором задан оператор, является в этом случае весьма нетривиальной
Отметим, что за последние годы, благодаря усилиям ряда математиков (см [6-10] и др ) были получены существенные продвижения в , абсолютном стучае“ эллиптической (7-теории, те в случае когда имеется одно многообразие с действием группы (7
С этой точки зрения возникает естественный вопрос о построении относительной эллиптической теории в ситуации, когда имеется дополнительное действие на многообразии некоторой группы Такого рода проблема (которую можно назвать (7-проблемой Соболева) и изучается в данной диссертации Именно,

рассматривается гладкое многообразие М и его гладкое подмногообразие X. На многообразии М действует группа конечного порядка. Разумеется, подмногообразие X не обязано быть инвариантным относительно действия данной группы и, следовательно, при действии группы оно переходит в некоторые другие подмногообразия, что приводит, в свою очередь, к ситуации задачи Соболева с подмногообразиями, имеющими, вообще говоря, особенности. Эти особенности возникают, как пересечение подмногообразий, полученных „размножением“ основного подмногообразия под действием группы. На первый взгляд казалось бы, что мы приходим к классическому случаю задачи Соболева для подмногообразий с особенностями. Но это не так! Дело в том, что С-операторы, которые здесь рассматриваются, не являются псевдодифференциалъными (и, следовательно, локальными), а являются операторами более общей природы - нелокальными операторами, содержащими операторы типа сдвига. Идея изучения такого рода операторов (в абсолютном случае) потребовала применения совершенно новой идеи (идеи униформизации), которая в конечном счёте приводит данный оператор к некоторому псевдодифференциальному оператору, для которого, в частности, проблема индекса может быть решена классическими методами Атьи-Зингера.
Эти идеи применяются в диссертации, и с помощью них удается получить исчерпывающие результаты для б-проблемы Соболева.
Содержание работы представлено выше. Дадим некоторые комментарии. В первом параграфе определяется С-задача Соболева. Эта задача униформизу-ется к псевдодифференциальной задаче, которая затем сводится к некоторому оператору на многообразии с особенностями. Последний оператор не является псевдодифференциальным (как это было в классическом случае), а является некоторым, более общим, оператором трансляции, ассоциированным с действием группы б1 или коротко С-транслятором.
Таким образом исследование нашей основной задачи сводится к изучению пары операторов, один из которых - С-псевдодифференциальный оператор определен на гладком многообразии М, а другой - транслятор на особом подмногообразии X. Поскольку проблемы с оператором на гладком многообразии нет, остается изучить свойства транслятора. Этому и посвящены следующие две главы, где в начале рассматривается случай изолированных (точечных)

обратим
1 - К12(г)К21(г) = (1 + К12(г)д 1)(1 - д*2К21{г))
Следовательно, чтобы доказать это утверждение, достаточно построить пример, в котором для С-инвариантного оператора Т операторы 1 + Й'12(г)іД обратимы на прямой Вег = а, а операторы 1 — д2К2г (г) не являются обратимыми на прямой Вег
Пусть М = Т4, У1 = {у1 = у2 = 0}, У2 = {т1 = х2 = 0} Трансляторы определяются следующим образом
Т12 ЯДУ2) -> ЯДУ1), где Т12 = 0іі2і2и Д - ПДО с символами
°Х Си (£ + £2 + г/2 +Г]2у’ °з(л)
а Д ~ двойственные переменные к х, у Также положим
т21 ЯДУ1) -> ЯДУ2),
где Т2і = и Ег - ПДО с символами
ем = с2, е2ы = , с2 1,, ем = с;
{й+й+гЦ+тЦГ
Операторы Т12,Т21 непрерывны при 0 < в <
На прямой а = Вег = в + | определены следующие комплексные функции

1 С 7 /У?
уМ = <рМ
у/Ът ) (Г2 + I)2 Г

Для некоторого 1 < а = Вег = в + 1 < 3, такого, что функции (дх(г), <р2(г) отличны от нуля на прямой Вег = а, подбирая константы

тг<рі(а)’
мы можем записать действие оператора 1 + <т(Т)(г) Получаем систему

иДац) + СіірДг) J соэ2 ш2и2(ш2)с1ш2 = щ(сщ),

С2у>2{г) Jсо$?и)іщ(ші)сІи)і + и2(и2) = ь2(ш2)