О некоторых задачах устойчивой управляемости нестационарных систем в критическом случае

• Автор: Родина, Людмила Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 95 с. : ил

Оглавление
Введение

Глава 1. Условия управляемости линейной нестационарной системы

§ 1. Основные определения и обозначения

§ 2. Пространство управляемости линейной нестационарной системы второго порядка

§ 3. Пространство управляемости линейной нестационарной системы произвольного порядка
Глава 2. Устойчивая управляемость нелинейной нестационарной системы второго порядка

§ 4. Различные типы локальной управляемости

§ 5. Достаточные и необходимые условия устойчивой управляемости системы второго порядка

§ 6. Примеры

Глава 3. Устойчивая управляемость нелинейной нестационарной системы в!"

§ 7. Множество управляемости нелинейной системы произвольного порядка
§ 8. Достаточные условия устойчивой управляемости нелинейной системы в Е"
Список литературы

Введение
В данной работе рассматриваются некоторые вопросы управляемости линейных и нелинейных нестационарных систем
х = А{£)х + мЬЦ), (0.1)
X = /о(х,г) +и^(х,Ь), (х,г)еШп+ |и| < 1. (0.2)
Проблемы управляемости динамических систем, интенсивно изучаемые с конца 50-х годов прошлого столетия Н. Н. Красовским [21], [22],
Р.В. Гамкрелидзе [6], [7], Р.Е. Калманом [13], [14], [15], Р.Ф. Габасо-
вым [3], Ф. М. Кирилловой [4], [5] и многими другими российскими и иностранными математиками [1], [23], [26], [42], [50], не потеряли своей актуальности и сейчас. К настоящему моменту времени вопросы управляемости линейных систем и управляемости нелинейных систем по линейному приближению хорошо изучены и достаточно полно освещены во многих книгах и статьях (см. например [10], [21], [26], [11], [12], [25], [35], [36], [46], [47], [48], [52], [54], [58]).
Для нелинейных же систем вопрос об управляемости, в частности исследование локальной управляемости, рассмотрен в основном для автономных систем. Данной тематике посвящены работы [2], [9], [16], [17], [18], [19], [20], [24], [27], [28], [29], [33], [37], [34], [38], [39], [40], [51], [53], [55], [56], [59], [60].
Особый интерес представляет исследование локальной управляемости в, так называемом, «критическом случае» (т. е. в случае, когда система линейного приближения для системы (0.2) не является локально управляемой). Именно критические случаи доставляют массу интересных эффектов пограничной управляемости. Например, показано, что система может быть локально управляемой и при этом не являться устойчиво управляемой (см. ниже). Целью данной работы является изучение условий локальной управляемости и устойчивой управляемости системой (0.2) в критическом случае. Специальное исследование предпринято для системы второго порядка. Построены примеры управляемых систем вида (0.2), для которых система линейного приближения не является локально управляемой.

Работа состоит из введения, трех глав, восьми параграфов (нумерация параграфов сквозная) и списка литературы.
Перечислим основные результаты диссертации.
В первой главе рассматриваются линейные нестационарные системы вида (0.1). В первом параграфе приведены основные определения и известные теоремы о полной управляемости линейных систем.
В качестве допустимых управлений системы (0.1) берутся всевозможные ограниченные измеримые функции и : М —» IR.
Допустимым решением системы (0.1) с начальным условием x(to) — хо называется абсолютно непрерывная вектор-функция x(t), которая почти всюду на отрезке [to,ti] удовлетворяет системе (0.1) при некотором допустимом управлении u(t), t Е [^о> ^i]-
Состояние xq системы (0.1) называется управляемым на отрезке [to, И], если найдется допустимое решение x(t) = x.(t,u(-)) системы (0.1), удовлетворяющее условиям x(to) = хо, х(t{) = 0. Система (0.1) называется вполне управляемой на отрезке [to,ti], если все состояния xq G Мп в момент to управляемы на отрезке [ioНелинейное подпространство L(to,t) в R” называется пространством управляемости системы (0.1) на отрезке [fo,ti], если в него входят все точки Жо € М", для каждой из которых существует допустимое решение x(t) = x(t,to,xo) такое, что x(ti,t0,xo) = 0.
Сформулируем достаточное условие полной управляемости для системы (0.1), приведенное в монографии Н.Н. Красовского [21]. Предполагается, что элементы матрицы A(t) и вектора b{t) имеют непрерывные производные вплоть до (п — 1)-го порядка, по крайней мере, в окрестности некоторой точки t = t* из отрезка [toHi] (в точках t = to или t = t речь идет лишь о правых или левых производных соответственно). Рассматриваются векторы qk(t), определенные в окрестности точки t* следующими рекуррентными соотношениями:
q0(t) = b(t),...,qk(t) = A(t)qk-i(t)-qk_i(t), k = 1 . ..n - 1.
Теорема 0.1. ([21, с. 148]) Пусть на отрезке [to,ti] можно
указать тючку t = t*, в которой ранг матрицы
K(t) = {qo{t)...qn-i(t)} (0.3)
равен п. Тогда система (0.1) вполне управляема на отрезке [io,ii].

Поскольку bz(t) = 0 на [г,- — At, г,-], то
.■ in/t Л,м Г bi(n- At)bi(Ti + At)I
lim |F(6,r*, At)I = lim ,
Ь{т{ — At)Iу fej (7v + At) 4- (.F +
= Hm fe(r‘ + At)l = lim № + A‘L —^
^(n + A^ + bKn + At) A^° Vl+^' + At)
Последне равенство справедливо в силу того, что функция 62 (t) не обращается в нуль на интервале (т*, г,--(-At). Поскольку z(t) — ограниченная
|2"(т,- + At) I
функция, то нетрудно увидеть, что предел lim - - .=.= - не ра-
д*->0 у/1 + Щп + At)
вен единице.
Таким образом, доказано, что если ^lim^ |F(6, t, At)| = 1 для всех t из
интервала (to,ti), то размерность пространства L(to,ti) равна единице, если же найдется точка т, G (to, ti) такая, что J.im^ |F(6,r,, At)| ф 1, то
dim L(t0, ti) = 2.
2. Рассмотрим систему (2.1) с произвольной матрицей A(t) и преобразование (2.26), переводящее ее в систему (2.3) с верхней треугольной матрицей A(t). Если rank IP(t) < 2 для всех t G [to,ti], то, в силу леммы (2.1), rankK(t) < 2 для всех t G [to,ti]- Как следует из свойств ортогонального преобразования, |6(t)| = |6(t)|, откуда получаем, что |6(t)| обращается в нуль в тех же точках т... тк, что и |b(t)[. Таким образом, если функция |6(t)I — неособая, то |b(t)| также неособая. Для системы (2.3) доказано, что, при указанных условиях, dim L(to,ti) = 1 тогда и только тогда, когда lim F(b, t, At)| = 1 для всех t G (to,ti)-
Поскольку ортогональное преобразование сохраняет угол между векторами, то F(b,t,At) — F(b,t,At), поэтому пределы
lim |F(b,t, At)[= lim F(b, t, At)| = 1 дг-ю' v n At-> 0' v ;|
для всех t из (to, ti) тогда и только тогда, когда
dim L(t0,ti) = dimL(t0,ti) = 1.
Если же существует точка ц такая, что
Hm F(b, ти At)I = |imo |Fib, ти At)| ф 1,