О корректной разрешимости несамосопряженных смешанных задач для уравнения колебаний мембраны

• Автор: Махмадуллоев, Зафар Насуллоевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 107 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ
УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ МЕМБРАНЫ
§ 1.1 .Понятие обобщенной производной
§ 1.2. Постановка задачи и ее редукции
§ 1.3. Нахождение последовательности собственных и
присоединённых функции. Базисы Рисса
§1.4. Метод Фурье для однородного уравнения
1.4.1. Формальная схема методы Фурье
§1.5. Обоснование метода Фурье для классического решения
смешанной задачи (1.2.3) для однородного волнового
уравнения
§ 1.6. Решение смешанной задачи для неоднородного уравнения
колебаний мембраны
§ 1.7. Решение общей смешанной задачи. Обоснование метода Фурье.. 49 § 1.8. Решение сопряжённой смешанной задачи для однородного
уравнения
1.8.1. Решение сопряжённой смешанной задачи для однородного уравнения
1.8.2. Обоснование метода Фурье для однородного уравнения колебаний мембраны
§ 1.9. Решение сопряжённой смешанной задачи для неоднородного
волнового уравнения
§ 1.9.1. Обоснование метода Фурье для неоднородного уравнения
колебаний мембраны
§ 1.10. Решение общей сопряжённой задачи для неоднородного
уравнения колебаний мембраны
1.10.1. Решения смешанной задачи (1.2.4) при /(*, у,/) = /(*, у)

ГЛАВА 2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ И ЕЕ УСТОЙЧИВОСТИ. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ. КОРРЕКТНОСТЬ
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ
§2.1. Единственность решение одной нелокальной смешанной задачи
для уравнения колебаний мембраны
§ 2.2. Решение смешанно задачи(1.2.4)при /(х,уД=/0с,у)
§ 2.3. Априорные оценки для решения неоднородного уравнения при
Дх,уД = /(х,у)
§ 2.4. Априорные оценки для решения сопряжённой смешанной задачи
для неоднородного волнового уравнения
2.4.1. Априорные оценки для решения сопряжённой смешанной задачи
для неоднородного волнового уравнения
2.4.2. Решение сопряжённой смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения при /(х,у,/) = /{х, у). Априорные
оценки
§ 2.5. Априорные оценки для решения однородного уравнения
колебаний мембраны
§ 2.6. Априорные оценки для классического решения одной
несамосопряжённой задачи
Цитированная литература

ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена проблемам абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям одной нелокальной (несамосопряжённой) краевой задачи и корректной разрешимости несамосопряжённых (нелокальных) смешанных задач для уравнения колебаний мембраны.
Разложение по собственным функциям дифференциальных операторов является одним из известных методов решения смешанных задач математической физики.
Проблемам суммируемости и сходимости разложений по собственным функциям самосопряжённых дифференциальных операторов посвящены работы В.А. Стеклова (1901), Н.М. Гюнтера (1934), C.JI. Соболева (1945), Ю.М. Березанского (1965), В.А. Ильина (1955-1968гг), Е.И. Моисеева (1976), М.А. Красносельского, Е.И. Пустыльника (1958), O.A. Ладыженской (1950-1958), Б.М. Левитана (1950-1955), А.Я. Повзнера (1953), Э.Ч. Титчмарша (1960-1961), К. Фридрихса (1947), Г. Вейля (1915), Т. Икебе (1967), И.К. Кенджаева (1967,1968), М. Исмати (1970-1992гг) и других авторов.
Методу Фурье для общего гиперболического и волнового уравнения, за последние четыре десятилетия посвящено большое число работ. Среды них мы отметим лишь работы Х.Л. Смолицкого (1949), O.A. Ладыженской (1950) и В.А.Ильина (1957-1960). Наиболее точные условия существования классического решения смешанных задач для общего гиперболического уравнения установил В.А. Ильин (1960) для произвольной нормальной области.
Однако исследованию этих проблем для несамосопряжённых дифференциальных операторов посвящено, сравнительно мало работ и эти проблемы далеки от своего полного разрешения. Это, прежде всего, относится и к спектральному разложению несамосопряжённых операторов. Хотя и относительно этой проблемы также появились достаточно много

3 PkPm

V2k-,2m- Sin

2 Я2
ipm¥2k,2m- + >кУ/2к-1 ,2w) +
, D + Pk(P2k-,2m)
k,m t COS.
r,—. ,ts{n4ttr,
у k,m * 2*J~A- m(P2k,2tn- +
2д/А-,т , л[к,
2k,2m— + 0 - У2k-l,2m—l

У/2к-1,2т + ~ Г У/2к-,2т-

'k,m

PkP,J

44,m
C0SVV

+ 2/1-1,2т-1 /о™ (Р2к-,2т- СОБ + ГГ--- '8*П д/1,,,)]*>2/Я }
4/Ч,т л/,т
(1.4.44)
Следуя работе В.А. Ильина [15], дадим следующее определение.
Определение. Функцию Т(х,>>д) из класса С1(рг)пС2(рг) назовём классическим решением смешанной задачи (1.2.3), если:
1. она удовлетворяет внутри области ()г однородному уравнению колебаний мембраны.
2. удовлетворяет начальным и граничным условиям задачи (1.2.3) в обычном классическом смысле.
В следующем параграфе мы покажем, что формально построенный ряд (1.4.44) дает классическое решение смешанной задачи (1.2.3), то есть мы дадим обоснование метода Фурье.
§ 1.5. Обоснование метода Фурье для классического решения смешанной задачи (1.2.3) для однородного волнового уравнения
Имеет место
Теорема 1.5.1. Пусть начальные функции несамосопрююённой смешанной задачи (1.2.3) удовлетворяют следующим условиям:
1. Функция ср{х,у) ггмеет в прямоугольнике R = [0,l]x [o,l] непрерывные производные до третьего порядка, интегрируемые с квадратом производные четвертого порядка и функции <р и Ар удовлетворяют краевым условиям задачи (1.2.3) в обычном смысле.
2. Функция i//(x, у) имеет непрерывные производные до второго порядка,
интегрируемые с квадратом производные третьего порядка в R и I//, Д (// удовлетворяют краевым условиям задачи (1.2.3). Тогда для