Некоторые вопросы многомерной теории нелокальных бифуркаций на бутылке Клейна

• Автор: Борисюк, Антон Романович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с. : ил.

1 Гомоклиническая бутылка Клейна

1.1 Граница множества Морса-Смейла

1.2 Катастрофа голубого неба

1.3 Сохранение некритических гомоклинических бутылок Клейна

1.3.1 Теорема Феничеля

1.3.2 Теорема о сохранении

2 Глобальное отображение Пуанкаре

2.1 Основные определения

2.2 Предположения типичности

2.3 Глобальное отображение Пуанкаре

2.4 Результаты, полученные ранее

3 Бифуркационный сценарий для случая унимодальной
функции отображения Пуанкаре
3.1 Функция циклов и бифуркационный сценарий
3.1.1 Реализация функции циклов
3.1.2 Классификация бифуркационных сценариев
3.1.3 Функция/г, зависящая от параметра
3.2 Бифуркационный сценарий в унимодальном случае
3.2.1 Нормировка функции На
3.2.2 Неподвижные точки
3.2.3 Периодические траектории
3.2.4 Свойства функции циклов
3.2.5 Классификация бифуркационных сценариев и
функций циклов

3.2.6 Случай добавочной функции, зависящей от параметра
4 Бифуркационный сценарий для общего случая
4.1 Описание бифуркаций гомоклинической бутылки Клейна
4.1.1 Основные предположения
4.1.2 Бифуркационный сценарий
4.1.3 Реализация бифуркационных сценариев
4.1.4 Эквивалентность бифуркационных сценариев
4.2 Доказательство основных результатов
4.2.1 Неподвижные точки
4.2.2 Периодические траектории
4.2.3 Восстановление ирскжп подстановки по её
характеристическому графу
4.2.4 Распознавание характеристических графов
4.2.5 Свойства функций циклов
4.2.6 Теорема о реализации
4.3 Случай добавочной функции, зависящей от параметра
Заключение
Список литературы

Предположим, что изучается динамическая система х' = /(ж, а), где х это п-мерный вектор, / — гладкая вектор-функция, определяющая векторное поле, а — вектор параметров. Теория бифуркаций динамических систем описывает качественные скачкообразные изменения фазовых портретов дифференциальных уравнений при непрерывном плавном изменении параметров. Так при потере устойчивости особой точки может возникнуть предельный цикл, а при потере устойчивости предельным циклом — сложный аттрактор (хаотическая динамика). Такого рода изменения называются бифуркациями. Например, бифуркация Андронова-Хопфа означает, что особая точка меняет устойчивость таким образом, что пара собственных значений пересекает мнимую ось, и, кроме того, в малой окрестности особой точки возникает предельный цикл. Таким образом, знание бифуркации особой точки помогает находить колебательные режимы, возникающие в системе при изменении параметров.
Наиболее полно изучены так называемые локальные бифуркации, когда топологические перестройки фазового портрета происходят в малой окрестности особой точки или предельного цикла. В книге [3] приведён обзор результатов теории локальных бифуркаций.
Теория нелокальных бифуркаций является более сложным и менее изученым предметом, поскольку при изучении нелокальных бифуркаций необходимо рассматривать строение и перестройку фазового портрета динамической системы в значительной области фазового пространства. Основные результаты теории нелокальных бифуркаций собраны в монографии [2].
Данная диссертационная работа посвящена изучению нелокальных бифуркаций седло-узлового цикла в случае, когда гомоклинические траектории заполняют поверхность бутылки Клейна. Полученые

Глава 4 Бифуркационный сценарий для общего случая
В этой главе приводятся теоремы и их доказательства, представляющие основные результаты исследования. Рассматривается случай общего семейства меняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности (глобальное отображение Пуанкаре). Получено полное описание бифуркационного сценария.
4.1 Описание бифуркаций гомоклинической бутылки Клейна
В пункте 2.3 построено глобальное отображение Пуанкаре, а затем в разделе 3.1 отображение Пуанкаре преобразовано к виду
где х Е 51, а семейство функций ка сходится к некоторой функции /го при
Поставленная задача сначала будет решена для частного случая глобального отображения Пуанкаре, когда ка = к:
а затем показано, что результаты остаются верными и в случае семейства
/а : х-* -х + а + ка(х),
(4.1)
(4.2)
/а : х —> -х + а + к(х),
(4.3)
(4.1).