Начальные и граничные задачи для сингулярных абстрактных дифференциальных уравнений

• Автор: Афанасьев, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 105 с.

Глава I. Необходимые теоретические сведения
1.1. Основные обозначения и определения
1.2. Основы теории полугрупп. Дробные степени операторов
1.3. Основные свойства операторных косинус-функций
1.4. Коэрцитивная разрешимость абстрактных дифференциальных уравнений в пространствах Бохнера
1.5. Основные свойства модифицированных функций Бесселя
1.6. Свойства операторных функций Бесселя
Глава II. Коэрцитивная разрешимость абстрактной вырождающейся параболической задачи Коши в пространствах Бохнера
2.1. Однозначная разрешимость абстрактной вырождающейся параболической задачи Коши в пространстве непрерывных функций
2.2. Коэрцитивная разрешимость неоднородной вырождающейся параболической задачи Коши
2.3. Коэрцитивная разрешимость однородной вырождающейся параболической задачи Коши
2.4. Примеры
Глава III. Разрешимость абстрактной вырождающейся гиперболической задачи Коши
3.1. Однозначная разрешимость вырождающейся гиперболической задачи Коши в пространстве непрерывных функций
3.2. Разрешимость неоднородной вырождающейся гиперболической задачи Коши в пространствах Бохнера
3.3. Разрешимость однородной вырождающейся задачи Коши
в пространствах Бохнера
Глава IV. Коэрцитивная разрешимость абстрактной вырождающейся эллиптической краевой задачи в пространствах Бохнера
4.1. Однозначная разрешимость вырождающейся эллиптической краевой задачи в пространстве непрерывных функций
4.2. Коэрцитивная разрешимость неоднородной вырождающейся краевой задачи
4.3. Коэрцитивная разрешимость однородной вырождающейся краевой задачи
Литература
Одним из главных направлений в теории уравнений с частными производными является сведение этих уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами. Важную роль при этом играют спектральные свойства операторов, в частности, характер убывания нормы их резольвенты при больших значениях аргумента. Этими же методами удается изучать и вырождающиеся уравнения. Исследованию некоторых абстрактных вырождающихся начальных и граничных задач параболического, гиперболического и эллиптического типов посвящена настоящая диссертация.
Сингулярные дифференциальные уравнения часто встречаются в задачах математической физики, например, в задачах, связанных с проблемами теплопроводности, в задачах на нахождение электрического потенциала и распределения зарядов при определенных граничных условиях, в теории трансзвуковой газовой динамики, а также во многих других практически важных случаях. Поэтому проблемы разрешимости соответствующих начальных, граничных и смешанных задач, записанных в абстрактной форме с вырождающимися операторами разного типа, действующими в банаховых пространствах, уже давно привлекают внимание многих математиков. Весьма плодотворным явился переход к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве для изучения уравнений в частных производных в работах A. JI. Скубачевского, А. И. Прилепко и Д. Г. Орловского [46] — [48] и [69], С. Г. Крейна [30], М. А. Красносельского [29] и многих других математиков.
Сингулярные дифференциальные уравнения разного типа и их свойства исследовались во многих работах, как в нашей стране, так и за рубежом. Так, в работе В. И. Фомина [60] для изучения вопроса об условиях существования ограниченного решения сингулярного дифференциального уравнения
tau'(t) — Au(t) + f(t), 0 < t < оо, а >
применяется метод малых регулярных возмущений. Работа В. П. Глушко [17] посвящена изучению гладкости решений вырождающегося дифференциального уравнения вида
a(t)u'(t) + B{t)u{t) = /(£), 0 < t < Т

есть функция Коши нашей задачи. Пусть гг(£) решение задачи (3.21) — (3.22) с нулевой правой частью /(£) = 0. Покажем, что и{£) = 0 почти для всех Ь € [0; Т. Пусть Ь(и(£)) = и"(Ь)—^аАи(1) и у(Ь) = Я(Х)г^(£), где А фиксированная регулярная точка. Ясно, что Ь{у(Ь)) = 0. Следовательно,

| К(4, з)Ци(л))^ = 0. (3.24)

Обозначим
иМ = {21лЬу1„{2и&), и2(Ь) = {2р^)Ч.1/{2рФ), аи = -т^-(21/)~21'
эт»
и перепишем (3.24) в виде
< « ауГг(£) 1и1(з)у"(з)с1з — аии2(Ь) JUl(s)s~^:~Av(s)ds— о о
- а^ИД*) {и2{8)^{з)6з + а^М /= 0. (3.25)
о о
В первом и третьем слагаемом (3.25) дважды проведем интегрирование по частям, учитывая, что и(0) = 0, ц'(0) = 0 и используя (1.32). Результаты будут отличаться лишь индексами при Щ{£), г = 1,2. Интеграл в первом слагаемом (3.25) примет вид

иМЩ) - и'Мьф + / ^(в)г;(в)сга.

Аналогично преобразуется и третье слагаемое (3.25). Подставляя эти результаты в (3.25), мы имеем
-а„и2{±)и'Му^) +а„иМ / Ь(и1(з))у(з)0з-

—а„и{Ь) I Ь(и2(з))у(з)с1з + а^иМЩ^у^)
Ясно, что Ь{и^з)) = 0, г = 1,2 в сильном смысле согласно теореме 3.1. Мы получаем, что
аи(Щь)иМ - ими2(ь))у(г)