Параметрические задачи субоптимального управления гиперболическими системами с фазовыми ограничениями

• Автор: Гаврилов, Владимир Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 162 с.

Сокращения, обозначения, нумерация

Глава 1 Абстрактная теория

1.1 Необходимые условия на субоптимальные

элементы для функционала типа максимума

1.2 Абстрактная параметрическая задача

оптимизации

1.2.1 Постановка задачи. Минимизирующие приближённые

решения

1.2.2 Аксиоматика

1.2.3 Необходимые условия на элементы МПР

1.2.4 Необходимые условия оптимальности

1.3 Функция значений и её свойства
1.3.1 Полунепрерывность снизу функции значений
1.3.2 Аппроксимация задачи с функциональными и с поточечными фазовыми ограничениями.
Субдифференциалы функции значений
аппроксимирующей задачи
Глава 2 Задача субоптимального управления линейным гиперболическим уравнением дивергентного вида с однородным краевым условием Дирихле
2.1 Постановка задачи
2.2 Вспомогательные результаты
2.2.1 Основное уравнение и метрическое пространство
управлений
2.2.2 Сопряжённые уравнения для целевого функционала и функциональных ограничений
2.2.3 Сопряжённые уравнения для оператора поточечных
фазовых ограничений
2.2.4 Подсчёт первых вариаций и проверка выполнения
абстрактной аксиоматики
2.3 Необходимые условия на элементы МПР
2.4 Необходимые условия оптимальности
2.5 Достаточные условия на элементы МПР и
условия нормальности

2.6 Аппроксимация задачи с функциональными и с поточечными фазовыми ограничениями.
Нормали Фреше, субдифференциалы функции
значений аппроксимирующей задачи
2.7 Иллюстративный пример
Глава 3 Задача субоптимального управления системой Гурса-Дарбу
3.1 Постановка задачи
3.2 Вспомогательные результаты
3.2.1 Основное уравнение и метрическое пространство
управлений
3.2.2 Сопряжённые уравнения для целевого функционала
3.2.3 Сопряжённые уравнения для оператора поточечных
фазовых ограничений
3.2.4 Подсчёт первых вариаций и проверка выполнения
абстрактной аксиоматики
3.3 Необходимые условия на элементы МПР
3.4 Необходимые условия оптимальности
3.5 Достаточные условия на элементы МПР и
условия нормальности
3.6 Аппроксимация задачи с функциональными и с поточечными фазовыми ограничениями.
Нормали Фреше, субдифференциалы функции значений аппроксимирующей задачи
3.7 Иллюстративный пример
Глава 4 Численный алгоритм для решения задач с ПФО
4.1 Абстрактная теория
4.1.1 Постановка абстрактной задачи с поточечными
фазовыми ограничениями
4.1.2 Аппроксимирующая задача
4.1.3 Набросок численного метода в абстрактном случае
4.2 Набросок численного метода решения задачи оптимального управления гиперболическим
уравнением дивергентного вида с однородным краевым условием Дирихле
4.2.1 Постановка задачи с поточечными фазовыми
ограничениями
4.2.2 Постановка аппроксимирующей задачи
4.2.3 Основное уравнение и гильбертово пространство
управлений
4.2.4 Представления приращений
4.2.5 Подсчёт градиентов
4.2.6 Набросок численного метода
Литература

Сокращения, обозначения, нумерация
Список сокращений
т.к. - так как; т.е. — то есть;
п.в. — почти все, почти всюду;
о.о. — ограничение общности;
МП — минимизирующая последовательность;
МПР — минимизирующее приближенное решение;
ПФО — поточечное фазовое ограничение.
Список основных обозначений
= — „равно по определению“ или „тождественно равно“;
V — „для всех“;
3 — „существует“;
0 — пустое множество;
{0},' — нуль линейного пространства X;
{х € X : ...} — совокупность элементов множества X, обладающих свойством }»• • * »
X х Y — декартово произведение множеств Ха У;
~Х — замыкание множества X; дХ — граница множества X; intX — внутренность множества X; meas X — лебегова мера множества X; coiiv — выпуклая оболочка;
dom f — эффективное множество функции (функционала) /;
N(x; fi) — нормальный конус Фреше к П в х
N(х П) — нормальный конус ко множеству Q в х;
д/(х) — субдифференциал в смысле [136, 139] функции / в точке х;
d°°f(x) — сингулярный субдифференциал в смысле [136, 139] функции / в точке
Rm — m-мерное пространство векторов-столбцов х — (ад хт) с евклидовой
нормой |ж| = {X э^}1/2;

Rmxn — тп - мерное пространство (m х п)-матриц А — {ау} с евклидовой нормой
а = {е Е4}1/2;
i=l J
Se(ß',P) = {р 6 Р : р{р,р) < е}, где Р — метрическое пространство с метрикой
p(v);

Т.к. wl's, s = 1,2,..- МПР в задаче {Ркк.,), то найдутся последовательности неотрицательных чисел ем, 7I,S —> 0, s —> оо, такие, что wl,s G Vkf"‘, I0(w,,s) < j3k(qk’1) +71,s. Поэтому
gk'') = т,Ч0(Ф3) - (C, qk'1) < rfpk{qk'1) ~ (C, qk'') + qV1* (1.3.10)
Поскольку нижняя грань Plk в задаче (1.3.8) равна рк = ifpk{qk'1) — (С qk'x) (доказательство данного факта полностью аналогично доказательству равенства (5.6) в работе [104]), то оценку (1.3.10) можно переписать в виде
r(vr,t*) где 7l,s = rfj1’3. Сверх того, из соотношений е1’3 —> 0, s —> оо, wl,s € Vk£‘‘ и определения множеств V* следует, что (ш1’3, qk'') € Vе' ’ . Последнее включение, в совокупности с оценкой (1.3.11), доказывает, что последовательность пар (wl,s,qk’*) действительно является МПР в задаче (1.3.8), а для последовательности гм = Рк — Р'к"‘ 4- 7I,S, i = 1,2 справедливы соотношения
P{w*•*, q''k) < pf + Г1'3, (шм, qk'%) G Vе"'.
Отсюда с помощью вариационного принципа Экланда [53] выводим существование последовательности (whs'1,qh’,’s) G Vе"', s = 1,2 каждый элемент которой является решением в задаче
P(w,q') + ^d((w,q'), (ш1’8'1^'*’8)) -7 inf, (w,q') € Vе"', (1.3.12)
и удовлетворяет неравенствам
d((w'’s, qk,t), I’(w''s’1,qk,1's) < P(wt’3,qk’t). (1.3.13)
„Сгладим“ задачу (1.3.12), а именно, рассмотрим задачу
P'w, q’) + /^J((w, g'), (ш*л ?*,м)) -> inf, («7, g') 6 Vе"’, (1.3.14)
где P'l{w,q') = Jj'/oH - (C‘, q') + vq' - д*.*|(‘+1)А, « = 1,2
P(w,q') -4 0, £ —> оо, равномерно no (w, q1) G 22-' ’, благодаря ограниченности шара 3r(l) *№'')■ Поэтому
inf [Г-‘(и>, g') + v9Md((to, g'), KA1, g*’,,s))] -> Г(ш,л1, gfc>t-8), i -4 oo, (w.tfJeP'*'8
и, значит, можно применить вариационный принцип Экланда [53] ещё раз. Таким образом, существует пара дк-‘4>‘) G 2>’'8, дающая решение в задаче
Г’*(щ,д')+/гЬ“й((ш,д')> (цЛ8’1, gfc,I’5))-|-v^a‘d((w>,д'), (щмД'(, д*-1'3'1)) -4- inf, (u),g) G Х>£''*,
(1.3.15)
и удовлетворяющая неравенству
d((w!’8' g*-1-8), (w1'8'1'1,дк’1’3’*)) < Va*, (1.3.16)