Метод опорных задач для оптимизации линейных динамических систем управления

• Автор: Еровенко, Людмила Дмитриевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Минск
• Количество страниц: 150 c. : ил

Диссертационная работа посвящена разработке конструктивных методов исследования линейных задач оптимального управления нестационарными динамическими системами. Как известно [24] , под конструктивной теорией оптимального управления понимается та часть общей теории оптимальных процессов, в которой исследуются принципы построения алгоритмов решения задач оптимального управления. Надо отметить, что разработка численных методов решения задач оптимального управления началась одновременно с теоретическими исследованиями в этой области прикладной математики [33, 38-41, 44-46, 61, 62, 67, 70, 83, 84]
Краеугольный результат в математической теории оптимальных процессов - принцип максимума, открытый коллективом советских математиков во главе с академиком Л.С.Понтрягиным [57] , представляет собой одно из крупных достижений современной математики. Он существенно обобщает и развивает основные результаты классического вариационного исчисления, созданного Эйлером, Лагранжем и другими выдающимися математиками прошлого. Появление принципа максимума послужило толчком для последующего бурного развития теории экстремальных задач и методов их решения. Усилиями многих советских и зарубежных ученых математическая теория оптимальных процессов достигла высокого уровня развития в области качественного анализа оптимальных решений [2, 7-9, 16-19, 50, 57, 66 ]
Первые попытки построения алгоритмов решения линейных непрерывных задач оптимального управления относятся к концу 50-х - началу 60-х годов. В 1957 году для решения задачи линейного оптимального быстродействия академиком Н.Н.Красовским [44—4б] был предложен метод, основанный на 1.1 - проблеме моментов в линейных

нормированных пространствах [3] . Использование Ь - проблемы моментов позволило свести ряд задач оптимального быстродействия к двойственным задачам, которые представляют собой конечномерные задачи выпуклого программирования [38-39]
Практический расчет оптимальных управлений сложными реальными объектами требует выполнения большого объема вычислений, который стал возможным благодаря созданию мощных современных ЭВМ и интенсивному развитию численных методов. В потоке работ, связанных с построением численных методов решения задач оптимального управления в настоящее время выделяют [35, 64, 69] три главных направления.
К первой группе относятся так называемые непрямые методы, которые направлены на отыскание управления, удовлетворяющего необходимым или достаточным условиям оптимальности. Исходная задача в таких методах сводится к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (см. [9, 50, 53-55, 69] ).
Второе направление связано с построением минимизирующей последовательности траекторий. Эти методы основаны на методе динамического программирования [4, 5, 20] , варьировании и переборе в пространстве фазовых координат [54, 63, 64] . Численные методы этого направления отражены в работах [6, 49, 53, 67-69, 73,
К третьей группе относятся методы построения минимизирующих последовательностей в пространстве управлений. Из большого числа методов этой группы отметим методы наискорейшего спуска (градиентные методы) и их различные модификации [9, 10, 34, 53, 70,
85] , методы штрафных функций [53, 71, 72] , методы последовательных приближений [48, 51, 52] , методы линеаризации [6, 64]
Обзор различных численных методов решения задач оптимального управления содержится в [9, II, 24, 34, 53, 58, 64, 68, 69, 84-86, 88]

правилам, описанным в п.4. Затем вновь возвращаемся к процедуре доводки.
Процедуру доводки продолжаем до тех пор, пока соотношения
(3.3) не будут выполняться в пределах заданной точности. В этом
_* ik+i>
случае по оптимальной опоре Ьоп “ Ьоп вычисляем базисное
оптимальное управление , teT для задачи (I.I) - (1.5).
В случае, когда число нулей коуправления At-t) ,-ЬбТ , больше числа опорных моментов, неопорные нули функционально зависят от опорных. Следовательно, для нулей Tj , j = l,'X, коуправления A*(i) , { еТ, построенного ПО опоре Son , имеют место соотношения
Ч = fjtTen) , j = i,p■
Поскольку нули коуправления определяются из соотношения А (Ъ = 0 , ■[бТ, то функции y>j (Трп), j = 4,p , заданы неявно и находятся из соотношений

àtyj (Топ),Топ)^0, (pj (Tûn) = ij t j = ifp ; (3.24)
AU,T*n) = {ca),teT*n} Ion)pd)-cd), teT.
В этом случае выражение (3.21) будет иметь вид:
Р #1*0 *
2.IL, sign. Mtj) J p£ct)d-t =ÿL-H(Lj)2e(.t*), le Ion, С3*25)
"tj
Предположим, что множество T„=UeT: Д<±)=0} состоит из изолированных точек "tj , j = i,p и производная первого порядка в этих точках не обращается в нуль. Тогда по теореме о неявных функциях [37] , скалярные функции ^-(Топ), j-itp , можно найти единственным образом из (3.24).
В качестве начального приближения к решению системы (3.25) берется опора S0n= Пол »Топ) • Пусть известно к -е приближе-