Марковские разбиения для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей

• Автор: Клименко, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
Введение
1. Вводные определения и замечания.
Марковские разбиения
1.1. Гиперболические автоморфизмы тора
1.2. Псевдоаносовские диффеоморфизмы поверхностей
1.3. Марковские разбиения
2. Предмарковские разбиения.
Конечность числа классов эквивалентности
2.1. Предмарковские разбиения
2.2. Порождение марковских разбиений предмарковскими
2.3. Эквивалентность разбиений
2.4. Конечность числа классов предмарковских разбиений
2.5. Лемма о пересечении длинных отрезков устойчивого и неустойчивого слоев
2.6. Марковские разбиения в смысле Боуэна: отсутствие конечности
3. Простейшие предмарковские разбиения тора
3.1. Соотношение между узкой и широкой эквивалентностью разбиений в случае тора
3.2. Цепные дроби и наилучшие приближения числа рациональными дробями
3.3. Квазимарковские разбиения. Их структура
3.4. Построение квазимарковских разбиений
3.5. Получение предмарковских разбиений из квазимарков-ского
3.6. (+еи)-разбиения
3.7. Следствия и примеры
Литература
Введение
Актуальность темы. Работа относится к теории гиперболических динамических систем. В ней изучаются множества марковских и сходных с ними предмарковских разбиений для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей, в частности, для гиперболического автоморфизма тора. Такие разбиения (наборы подмножеств фазового пространства с определёнными структурой и поведением под действием отображения, определения см. ниже) позволяют строить удобные символические модели для указанных отображений, что может применяться при изучении свойств последних.
Диффеоморфизм двумерного тора, задаваемый формулой
х нч Ах (mod Z2), (*)
где A G GL2(Z) — гиперболическая матрица, (его называют гиперболическим автоморфизмом тора) и в частности, такой диффеоморфизм с А — (1 1), послужил при построении гиперболической динамики в 1960-х гг. важным примером динамической системы, в которой всё фазовое пространство является гиперболическим множеством (системы Аносова). Построение марковского разбиения для гиперболического автоморфизма тора было осуществлено Р. Адлером и Б. Вейссом, [2].
В дальнейшем обобщения конструкции марковских разбиений происходили в двух направлениях. Один путь, принадле-

Введение

жащий Р. Боуэну (см. [3]), состоял в рассмотрении динамики на произвольном локально максимальном гиперболическом множестве. (Первые шаги в этом направлении, практически одновременно с работой Адлера и Вейсса, были сделаны Я. Г. Синаем: он начал, частично совместно с Б. М. Гуревичем, построение марковских разбиений для гиперболических автоморфизмов п-мерного тора.) В этих условиях Боуэном было установлено существование марковского разбиения, однако платой за столь общие условия стала неконтролируемо сложная геометрия множеств, составляющих разбиение.
Позже выяснилось, что существенную роль в наличии простой геометрии элементов разбиения играет двумерность фазового пространства. Так, уже для аналогичного (*) автоморфизма трёхмерного тора элементы марковского разбиения не могут иметь кусочно гладкую границу (см. [4]).
Поэтому возник также другой путь: 1 при сохранении дву-мерности фазового пространства ослабить требования к отоб-ражению. Таким расширением класса отображений являются псевдоаносовские диффеоморфизмы двумерных компактных ориентируемых поверхностей. Они возникают естественным образом как представители некоторой части классов эквивалентности при принадлежащей Я. Нильсену и У. Тёрстону классификации гомеоморфизмов поверхностей с точностью до изотопии.
Определение псевдоаносовского диффеоморфизма основывается на аналогии со следующими свойствами гиперболического автоморфизма тора. Для последнего существуют два одномерных трансверсальных слоения, инвариантных под действием диффеоморфизма — разбиения на прямые,
Глава 2. Предмарковские разбиения. Конечность числа классов эквивалентности
Предложение 2.1. Любой устойчивый (неустойчивый) слой, имеющий непустое пересечение с устойчивой (неустойчивой) границей предмарковского разбиения является периодическим. Периоды, этих слоёв в семействе разбиений ограниченной сложности также ограничены.
Доказательство. 1. Пусть Аи — множество неустойчивых слоёв, имеющих непустое пересечение с диП. Оценим число элементов в нём. Пусть I — некоторый непродолжимый отрезок диП на слое 7 6 Аи. Рассмотрим его конец. Он является либо особой точкой (и тогда слой 7 — её сепаратриса), либо неособой. В последнем случае рассмотрим локальную выпрямляющую карту, в которой этот отрезок локально имеет вид {ж 0,2/ = 0}.
Если некоторый прямоугольник П пересекается с малой окрестностью конца отрезка, он может локально2 записываться одним из следующих множеств: (1) {х А 0, у Д 0}, (и) {х < 0,г/ > 0}, (ш) {х < 0, у < 0}, (А) {х > 0,у < 0}, (у) {ж 0}, (у!) {х 0}, (уп) {у 0}, (уш) {у 0}. Так как отрезок [0, с] х {0} лежит в границе разбиения, а отрезок [—£,0] х {0} — нет (иначе I можно было бы продолжить), случаи (11), (ш), (у), (уп) и (уш) исключаются. Тогда имеется единственная возможность: окрестность локально разбивается на прямоугольники вида (1), (1у) и (у!) , а следовательно, в конец I отображаются две вершины прямоугольников. Таким образом, общее число отрезков не превосходит ! а“(р) + 2У)
= Ы + Ереэте() уа1 Мр)-
2Поскольку прямоугольник может не быть хорошим, такую локальность нужно понимать следующим образом: в малой окрестности С/ замыкание каждой связной компоненты и ЛнйД имеет указанный вид.