Линейные интегральные операторы и уравнения с периодическими и почти периодическими ядрами

• Автор: Савчиц, Елена Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Краснодар
• Количество страниц: 111 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Список обозначений Введение

ГЛАВА 1. ИТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ И ОГРАНИЧЕННЫХ НА ОСИ ФУНКЦИЙ §1.1. Линейные операторы в пространстве ограниченных функций и условия их интегрального представления §1.2. Алгебра локально компактных операторов и условия локальной компактности операторов ГЛАВА 2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА §2.1. Алгебра периодических локально компактных операторов и их интегральное представление §2.2. Аппроксимационная теорема для периодических операторов §2.3. Структура ядра Кег(1 — Р) в случае периодического оператора Р
ГЛАВА 3. ОБРАТИМОСТЬ И НЕТЕРОВ ОСТЬ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ И ОГРАНИЧЕННЫХ НА ОСИ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПОДПРОСТРАНСТВАХ §3.1. Условия обратимости оператора I — Р в случае, когда Р - периодический оператор §3.2. Вопросы га-нормальности и Анормальности оператора I — Р в случае, когда Р - периодический оператор §3.3. Почти периодические операторы и условия обратимости оператора I — Р в случае, когда Р - почти периодический оператор Литература

Список обозначений

N - множество натуральных чисел; Z - множество целых чисел;

[а, Ъ), |а|, |6| < +оо,

г 1Ч (—оо.Ь), а — — оо,6<+оо,

а, о) = г ; ,

[а, +оо), а>—ос,о = +оо,

(—оо,+оо), а = — ос,6 = +оо.
Сп - пространство п-мерных комплексных векторов х = (х-у, а?2,хп)т,
IMI = I;
_ пространство комплексных п х n-матриц А = {<%■},

1И11 = ах £ |afj|.
ВП(ДХ) - банахово пространство ограниченных отображений х : Д1 -)• Сп,
IMIb»(JP) = SUP IkWllc'" = SUP шах |жДб)|;
teH1 feJ?
L^0(Rl) - банахово пространство измеримых и существенно ограниченных отображений х : R1 —* С”,
IMIz/1 (ЯН = vraimax ||д(б)||о = vraimax max |ж,-(£)|;
11 11 J teR1 11 w" tetf1 i BCn{Rl) - банахово пространство непрерывных и ограниченных отображений х : R1 —> Сп,
INIвс-m = sup 11^(6)11(7" = sup max N(N-tei?1 «ел
Определим следующие подпространства пространства BCn(R1):
BC(Rl) - пространство равномерно непрерывных на R1 функций; APn(Rl) - пространство почти периодических но Бору функций;
Cq(r1) = {z : jlm^x{t) = oj;
aAPn(Rl) = Cq1 (Л1) ф APn(i?1).
Для произвольных к £ Z {0}, а б Д1 обозначим P"(Aw) = {х б BC"(BX) : x{t + кш) = т(б)}; aP"(fcw) = С0П(ДХ) 0 Ди(Аш);

exp(iat)Pn(küj) = (exp(iat)x(t), x(t) E Pn{koj)}.
Cn[a, b] - банахово пространство непрерывных отображений х : [а, 6] —> Сп,
Ыс"[а,ь] = sup = sup max |г,-(<)|.
te[a,b] te[a:fc] 1<;<п
Дня произвольной неубывающей функции a(s) : [а, b) -> R1 обозначим Lx([a, b),a) - банахово пространство измеримых и суммируемых относительно меры, порожденной функцией = / l^(s)Mcr(s);
(a,6)
LiXn([a, b), а) - банахово пространство комплексных п х п-матриц ф(5) = {^ü(s)}> элементы ^(s) которых принадлежат Дх([а, 6), <г),

|[ф11ьгп(м,а) = Е У
- - ^=У*)
Отметим, что норма в L”*n([a, Ь),сг) удовлетворяет оценке
п 1 У ||$(5)||c”X"rfo-(s) < < I ||Ф(а))|С'ихп6?0-(5) .
[а, b) [а,6)
NBVnxn(Rl) - банахово пространство комплекснозначных непрерывных слева п х n-матриц A(s) = (щДа)}, имеющих ограниченную на R1 вариацию и удовлетворяющих условию lim A(s) =. О,
( 71 СО
||Д||лгвц«х„(Я1) = v; A(s) = max ]Г vs o-ij(s).
-00 l<^ £(БС'га(Д1), ВСп(К1)) - банахова алгебра непрерывных линейных операторов В, действующих в пространстве ВСп(К1),
||Б|| = эир \Вх\.

где a{s) - некоторая неубывающая функция, а функция К(t, s) при каждом t 6 [а, 6] суммируема относительно меры, порожденной функцией Введем предварительно следующие обозначения:
Пусть [а, Ь) - произвольный полуинтервал из R1 (возможно, бесконечный), a a (s) : [a, b) -t R1 - неубывающая функция. Обозначим через L([a, b), а) банахово пространство функций ф : [а, Ь) —У С , измеримых и суммируемых относительно меры, порожденной функцией cr(s),
i([a,6),cr) — J Ф{^d & (s) ■
[а,6)
Через Lixn([a, b), а) обозначим банахово пространство n x п-матриц Ф(а) = {0ij(s)}, элементы ф^(в) которых принадлежат Li([a, Ь), <т),

11ф11ьГп(М),<т) = Y1 J №j{s)do{s).
- - J=1[a,b)
Отметим, что норма в L”xn([a, b), а) удовлетворяет оценке
п 1 J ||Ф(я)||слхпйсг(в) < ||Ф||х”*”([а,Ь),сг) < J ||$(s)||c«>=»(icr(s).
[а,Ь) [а,Ь)

Всюду далее символом / x(s)da(s) обозначается интеграл по промежутку [а, Ь). То же обозначение сохраняется в случае, когда x(s) - матрица (интегрирование понимается покомпонентно).
Имеет место
Теорема 1.2.3. Пусть оператор Р принадлежит Мпхп. Тогда он может быть представлен в виде

Рx(t) — J G(t,s)x(s)da(s), (1-17)

где a(s) - неубывающая, непрерывная слева функция, имеющая ограниченную на R} вариацию, а матрица G(t, а) при каждом t £ R1 принадлежит Lixn(R},a) и удовлетворяет условиям
sup IIG(t, s)|Uxn(Jp } < оо, (1.18)
teR1 1 .
1 ||(?(£ + h, s) — G(t,s) ||x“xn(jji,cr) = Oj (1-19)
При этом ||G(i, s)||i^x''?‘(i?i,(T) = s)llArBV'nxn(ii1)> г<^е PpJs) £ Mnxn -ядро оператора P.