Кратная полнота собственных и присоединенных элементов оператора кратного дифференцирования

• Автор: Казарьянц, Алексей Борисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 100 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ ЗАМКНУТЫХ ПОДМОДУЛЕЙ 14 §1.1. Постановка задачи локального описания

§ 1.2. Локальные вопросы

§1.3. Критерий обильности 3

§ 1.4. Устойчивость

§ 1.5. Главные подмодули

ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ДЛЯ МАТРИЧНОГО

ОПЕРАТОРА КРАТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

§2.1. Постановка задачи спектрального синтеза
§2.2. Спектральные вопросы
§2.3. Двойственность
§2.4. Однородное уравнение д-свертки
§2.5. Системы однородных уравнений #-свертки
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Пусть О - выпуклая область в С; Я = Н(0) - пространство голоморфных функций на С/, с топологией равномерной сходимости на ком-
тор кратного дифференцирования в Н. Собственным значением оператора В4 называется комплексное число Л, удовлетворяющее уравнению (В4 -Л4)/ = 0, при каком-либо ненулевом / є Я. Совокупность всех собственных значений оператора В4 называется его алгебраическим спектром. Корневым подпространством оператора В4, соответствующим собственному значению Л, называется подпространство Н, состоящее из элементов /, каждый из которых при некотором к є N удовлетворяет
уравнению (В4 - Лр)к/ = 0.
При всяком Л є С экспонента еХг є Н удовлетворяет уравнению (В4 - Л4)/ = 0. Значит, алгебраический спектр оператора В4 совпадает с С. Корневые элементы этого оператора, соответствующие собственному значению Л є С имеют вид
где га - многочлены, Л - совокупность всех комплексных решений урав-

нения г4 ~ЛЧ =0. Так как Л = {Л,еЛ,...,ег~1Л}, где е - ехр—то элемент
пактах; q - фиксированное целое положительное число; В4 = опера-

е(г,Л) можно представить в виде в виде

где гк(г) = '^ак^тЧ - многочлены. Подбирая многочлены gk, степени

>т, из условия
Элемент е0(г,А) = Лг является собственным элементом
называются присоединенными к нему элементами. За счет выбора многочленов gk цепочка присоединенных элементов может иметь любую конечную длину т.
Пусть Ж - замкнутое подпространство в Н, инвариантное относительно оператора О4. Корневые элементы оператора О4, содержащиеся в подпространстве Ж, обладают важным свойством: элемент ет(г,А), АфО, принадлежит инвариантному подпространству Ж тогда и только тогда, когда выполняются включения
Таким образом, всякий корневой элемент оператора лежащий в инвариантном подпространстве Ж является либо собственным, либо присоединенным элементом этого оператора.
элемент е(г) можно представить в виде
оператора О4. Элементы
е0(г,А)еЖ, е1(2,Л)еЖ,..., ет(г,А)єЖ.

следует, что 1(A) зависит от {и(1 и(1)}, то есть система и° ..., и<к)
порождает подмодуль 1(A).и
Следующее предложение связано с характеризацией локальных подмодулей 1(A).
Предложение 1.2Л. Пусть /сР, и(1)el-система элементов, порождающая локальный подмодуль 1(A), ЛеС. Элемент v е О(Я) принадлежит 1(A) тогда и только тогда, когда выполнено:
1) Ъ&х(ит ,...,u{p~lv,u{p+X) ,...,и{к))>ЪАл1, р = ,...,к;
2) система v, ит,...,и{к} зависима над кольцом Ор(А).
Доказательство. Пусть v е О(Д) удовлетворяет условиям 1) и 2). Покажем, что veJ(A). Из условия 2) следует, что ранг множества {v,u(i> ,...,и(к>} совпадает с рангом множества {и(1),.,.,«№)} и равен к. Из условия 1) вытекает, что индексы этих множеств совпадают. По предложению 1.2.1 множество {v,u(l),...,u(k)} зависит от множества {и<1),...,и(к)}. Следовательно, v е 1(A).
Обратно. Пусть v е 1(A). Так как Rank 1 = к, то система v,u(l...,u{k) зависима над кольцом Ор(А). Осталось показать, что v удовлетворяет условию 1) из формулировки предложения. Так как система е/ порождает 1(A), то v = C(1)w(1) + ... + С(-к)и(-к <= Ор(А),
следовательно,
V„ (£1?lz) = C(lzP)uP(£ltiz) +... + (fkzP) ujk)(£mz) ,
№1 № l
....................................................... (1-2.3)
vMk (s’hz) = cm(zp)u^(entz) + ...+(zp) и^ещг),