Квазиклассическая асимптотика решений псевдодифференциальных уравнений при наличии каустик произвольного типа

• Автор: Улин, Виктор Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 139 c. : ил

Глава I. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ ЛУЧЕВОГО ТИПА С КОМПЛЕКСНЫМ

ЭЙКОНАЛОМ

§ I. Исходные формулы лучевого метода в

трехмерном случае

§ 2. Комплексные лучевые решения на римановом

многообразии

§ 3. Окрестность замкнутой геодезической

Глава II. КОМПЛЕКСНЫЙ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРШЕННОЙ ЛУЧЕВОЙ

МЕТОД ДЕЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫ! УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ

ПРОИЗВОДНЫМИ

§ 4. Трехмерные квазифотоны

§ 5. Уравнения Максвелла
Глава III. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В ТЕОРИИ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛБНЫХ
ОПЕРАТОРОВ
§ 6. Некоторые классы псеццодифференциальных
операторов
§ 7. Квазифотонная асимптотика решений уравнения с
псевдодифференциальным оператором
§ 8. Система псевдодифференциальных уравнений с
кратными характеристиками
Глава IV.МЕТ0Д СУММИРОВАНИЯ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ
§ 9. Суммирование решений псевдодифференциального
уравнения по лучам
ДОПОЛНЕНИЕ. Некоторые сведения из теории матриц
ЛИТЕРАТУРА

В диссертации рассматриваются некоторые аспекты комплексного варианта лучевого метода и метода суммирования гауссовых пучков.
Как классический стационарный вариант лучевого метода (см. [1-9] и указанную там литературу), так и пространственно-временной лучевой метод (см. [10-15] ) сталкиваются со значительными трудностями в окрестностях каустик - тех точек, где соответствующее поле лучей теряет регулярность.
В.П.Масловым разработан ныне широко известный метод канонического оператора (см., нацршдер, [9, 16-19] ), позволяющий описывать волновое поле в окрестности сколь угодно сложных особенностей лучевого поля, т.*'е. вблизи любых каустик.
Существует подход к проблемам описания волнового поля в сингулярной ситуации, основанный совсем на других идеях - метод суммирования гауссовых пучков. В случае волнового уравнения этот метод был предложен В.М.Бабичем и применен им и его ученицей Т.Ф. Панкратовой в работе [20] , вышедшей в 1973 году, для рассмотрения одной задачи, поставленной А.Я.Повзнером. М.М.Попову принадлежит идея использовать суммирование гауссовых пучков для численных расчетов акустических и упругих волновых полей. В настоящее время эта методика получила довольно широкое распространение (см. работы [21-23] ).
В диссертации метод суммирования гауссовых цучков обобщается на широкий класс дифференциальных и псецдодифференциальных операторов. Таким образом, оказалось, что области применимости как метода канонического оператора, так и метода суммирования гауссовых пучков практически совпадают. В отличие от метода канонического

оператора, метод суммирования гауссовых пучков глобален и не требует разбиения лагранжева многообразия, связанного с лучевым полем, на отдельные карты.
Остановимся коротко на идеях, лежащих в основе метода суммирования гауссовых пучков. Каадый индивидуальный луч, - как пространственно-временной, так и луч стационарного типа, - можно окружить волновым полем, экспоненциально убывающим по мере удаления от этого луча. Под ’’окружением” понимается построение формального асимптотического решения рассматриваемого дифференциального или псевдодифференциального уравнения или системы таких уравнений, причем речь идет о решении, имеющем вид разложения, частные суммы которого осциллируют в малой окрестности луча и оцениваются вы-ражением о| соизі) , где соиві >0 , со - большой параметр задачи, а о! - расстояние до луча. Такие решения называются гауссовыми пучками. Некоторые авторы под словом "гауссов пучок" понимают не само решение, а результат его умножения на гладкую срезающую функцию, равную единице в окрестности луча. Мы в дальнейшем будем следовать именно этому, последнему определению гауссова пучка. Гауссовы пучки (как доказал еще в конце 60-х годов
В.Ф.Лазуткин на примере уравнения Гельмгольца для неоднородной среда) обладают замечательным свойством: они не приобретают сингулярностей при неограниченном цродолжении ддоль луча. Если есть лучевое поле, имеющее в некоторых точках каустические особенности, то можно построить гауссов пучок, соответствующий каждому лучу, и просуммировать все гауссовы пучки. Суммируя формальные решения, мы опять получим формальное решение, не теряющее смысл в окрестности каустик. Полученный интеграл по гауссовым пучкам и дает то описание волнового поля вблизи каустик, о котором говориИсходя из аналогии с вещественным случаем, мы положил
■Э0< - "Збч -^в1

Из (4.8) с учетом (4.9) сразу получаем, что = О . Таким
о т.
образом,' можно взять
(4.10)
0о(Ь) = <Я-> Л =с.оп$Ь7 ССЄ. (&
91 ) = &І(<С')= І<С (<= и (4.II)
Уравнение ,для членов первой степени о,инородности тлеет вид
(4.12)

где ицдекс (л) обозначает член первой степени о,инородности в разложении квадратной скобки в ряд по однородным полиномам.
В дальнейшем нам удобно пользоваться классическим обозначением гессиана функции нескольких переменных: пусть функция
к* ) дважды непрерывно дифференцируема
в окрестности некоторой ТОЧКИ Х0 <£ 1/С . Через
(Неез , |)(эс0) обозначим матрицу Гесса этой функции
X X
по переменным х:'®0 и х (Р* , вычисленную в этой точке:

ПРЕДДОЖЕНМЕ 4.3. Имеет место тождество