Исследование устойчивости дифференциальных включений методом усреднения

• Автор: Балабаева, Наталья Петровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 99 с.

Глава 1 Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений на асимптотически большом отрезке

1.1 Основные понятия и классы отображений

1.2 Аппроксимация дифференциальных включений

1.3 Задача Чаплыгина для дифференциальных

неравенств и условие Важевского

1.4 Постановка задачи и основные предположения

1.5 Основная теорема

1.6 Примеры исследования устойчивости систем дифференциальных неравенств и включений

1.7 Теоремы о неустойчивости

Глава 2 Устойчивость систем дифференциальных

включений
2.1 Постановка задачи об устойчивости систем дифференциальных неравенств и включений на бесконечном промежутке

14.
2.2 Устойчивость систем дифференциальных
неравенств и включений
2.3 Равномерная экспоненциальная устойчивость дифференциальных уравнений с управлением
и липшицевой правой частью
2.4 Равномерная экспоненциальная устойчивость нслипшицевых дифференциальных уравнений
с управлением
Заключение
Библиография

Вопросы устойчивости имеют огромное теоретическое и практическое значение. Основы теории устойчивости были заложены в конце XIX века А.М. Ляпуновым в его знаменитой диссертации ’’Общая задача об устойчивости движения” [48].
Дальнейшему развитию теории устойчивости были посвящены известные монографии А.И. Лурье [47], Н.Г. Четаева [87], И.Г. Малкина [49],
H.H. Красовского [45], В.И. Зубова [40], Н.П. Еругнна [37, 38].
Основными методами теории устойчивости являются первый и второй методы Ляпунова. Первый метод делает заключение об асимптотической устойчивости или неустойчивости на основе изучения системы линейного приближения с постоянными коэффициентами. Обзор работ по применению первого метода Ляпунова дан в [31, 39].
Второй (прямой) метод предполагает известной функцию Ляпунова — функцию координат, имеющую смысл обобщенного расстояния до стационарного состояния. В этом случае заключение об устойчивости, асимптотической устойчивости или неустойчивости делается по свойствам производной, вычисленной в силу уравнений системы. Второй метод Ляпунова, в том числе метод вектор-функций Ляпунова, получил развитие в работах В.М. Матросова [50, 51, 52], М.М. Хапасва [81, 82, 83],
A.A. Воронова [30, 32], Е.В. Воскресенского [33, 34, 35], О.В.Анашкина

tl £ ТрГ [^0) £о + У *]> систему (1.15) будем называть х, ^-неустойчивой на асимптотически большом отрезке.
Пусть в процессе усреднения системы (1.16) получена система вида
(1.21), где для отображения То(£,£) € Ьо(п, Д|) равномерно по начальным условиям выполняется соотношение
Нт Но {1о{к,х0, А), J{t(^,xo, уо, А)) = 0. (1.42)
Д-4оо
Тогда по теореме 1.3 система (1.21) аппроксимирует снизу систему (1.16).
Теорема 1.7 Пусть выполнены условия (а)-(д) и соотношение (1-42) для То(£,£) £ Ьо(п,Но). Если усредненная система (1.21) является £, р -неустойчивой на асгшптотически большом отрезке, то система (1.15) также х, ц-неустойчива на асимптотически большом отрезке.
Доказательство. Так как выполнены все условия теоремы 1.3, то усредненная система (1.21) аппроксимирует снизу систему (1.16). Покажем, что свойство £, ^-неустойчивости усредненной системы наследуется системой (1.16).
Так как система (1.21) £, //-неустойчива на асимптотически большом отрезке, то > 0 такое, что ///о > 0 3// е (0, //о], существуют начальные условия (*о,*о) ^ х ®+(го)? ЗП 6 [й),£о + //_1] 11 такое решение £*(£) системы (1.21), что ||^*(£1)|| > £.
Из определения аппроксимации снизу следует, что для произвольного £2 £ (0,£1) Эро > 0 такое, что Ур £ (0, //о], для решения £*(£) задачи
(1.21) существует решение г*(б) задачи (1.16) такое, что при начальных условиях (£о,То,Уо), Ууо £ Кга, /£ £ Т(£0,//) выполняется неравенство
1И0-Г(011<^-