Инварианты характеристик гиперболических систем уравнений

• Автор: Заблуда, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 95 с. : ил.

Глава 1. Инварианты характеристик уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах

1.1 Основные понятия и утверждения

1.2 Одномерная нестационарная газовая динамика. Политропный газ с постоянной энтропией

1.2.1 Построение точных решений

1.3 Неполитропный газ с переменной энтропией

1.3.1 Инварианты нулевого порядка и их применение

1.3.2 Инварианты высших порядков

1.3.3 Двумерная газовая динамика

1.3.4 Трехмерная газовая динамика

Глава 2. Инварианты характеристик уравнений магнитной гидродинамики

2.1 Одномерный нестационарный случай

2.2 Двумерная магнитная гидродинамика
2.3 Трехмерная магнитная гидродинамика
Глава 3. Инварианты характеристик уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах
3.1 Инварианты нулевого порядка
3.2 Точные решения

3.3 Интегрирование уравнения Мутара с помощью преобразований Дарбу
3.4 Нелокальные инварианты
3.5 Инварианты первого порядка
Заключение
Литература
Приложение А. Пакет аналитических вычислений 1пуСИаг

Дифференциальные уравнения в частных производных используются для описания разнообразных процессов реального мира. Несмотря на то, что развитие современной вычислительной техники позволяет применять эффективные численные алгоритмы для решения нелинейных систем уравнений, тем не менее, построение точных решений по-прежнему остается важной задачей. Эти решения позволяют не только глубже понять качественные особенности описываемых процессов и явлений, но также могут быть использованы в качестве тестовых примеров для асимптотических, приближенных и численных методов.
Данная работа посвящена методам интегрирования нелинейных гиперболических систем уравнений в частных производных первого порядка. Рассматриваются уравнения, описывающие движения идеального газа в эйлеровых и лагранжевых координатах, а также уравнения магнитной гидродинамики.
Можно сказать, что в настоящее время уравнения классической газовой динамики изучены достаточно хорошо, в то время как магнитная гидродинамика является сравнительно новой областью математический физики. Известно не так много точных решений для уравнений магнитной гидродинамики, поэтому развитие аналитических методов редукции и интегрирования этих систем представляет дополнительный интерес.
В книге [23] Курант отмечал ключевую роль интегралов характеристик при интегрировании уравнений с частными производными:
Самым важным фактом теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка является эквивалент-

Вводя обозначения /2(р, й) = -1 /Ур(р,з), переходим к системе
Щ+Ру = О,
Р( + /2(Р)5)и9 = О,
■Зі = О,
У = - [ -^—+#*)■
1 ЯМ
Интегрируя третье уравнение, очевидно, имеем в = 5'(д). Обозначив /(Р> ?) = fi.Pi 3(я))і перепишем уравнения газовой динамики как систему из двух дифференциальных уравнений [31]
щ + Рд = 0, Рі + р{р, я)ид = 0, (3.2)
со соответствующим уравнением состояния
(3'3)
3.1 Инварианты нулевого порядка
Два семейства характеристик системы уравнений (3.2) задают операторы
ІД = Ді/МА,
Теорема 3.1. Система (3.2) обладает инвариантами характеристик нулевого порядка тогда и только тогда, когда
Яр,я) = , ч, а,ь є 1?
г'{ар + од)
Эти инварианты имеют вид
Iі — аи-Ы±Р[ар+ Ьд). (3.4)
Доказательство. Для определенности будем искать инварианты в виде ЛД, д,р, и), сохраняющиеся вдоль векторного поля (1,/), т.е. удовлетворяющих уравнению
ЩЧ|(Ї2)=°. (3.5)