Задачи типа Геллерстедта для уравнений смешанного типа с нелокальным интегральным условием сопряжения

• Автор: Скороход, Анна Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 124 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Задача типа Геллерстедта

с данными на характеристиках

§ 1.1. Задача Гурса. Принцип локального

экстремума

§ 1.2. Постановка задачи У.

Единственность решения

§ 1.3. Существование решения

задачи У

Глава 2. Задача типа Геллерстедта с данными

на нехарактеристических линиях
§ 2.1. Задача Дарбу. Принцип
локального экстремума
§ 2.2. Постановка задачи У2.
Единственность решения
§ 2.3. Существования решения задачи У2
Литература

Введение
Возникшая в двадцатые годы прошлого столетия теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике и во многих других областях.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [69, 70] и
С. Геллерстедта [79], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Ими были изучены задачи для уравнения смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как "задача Трикоми"и "задача Геллерстедта".
Ф. И. Франкль [72, 73] обнаружил важные приложения
задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. А. В. Бицадзе [7] впервые сформулировал принцип экстремума для задачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для уравнений смешанного типа.
В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались ученые у нас в России и за рубежом. Полученные результаты приведены в монографиях A.B. Бицадзе [6, 9], Л. Берса [5], М.М. Смирнова [63, 65] , Е.И. Моисеева [44], Т.Д. Джураева [22]. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.
Задачей Геллерстедта для уравнений смешанного типа занимались Ф. И. Франкль [72, 73], М.А.Лаврентьев [41], A.B. Бицадзе [7],
B.Ф. Волкодавов, М.Е. Лернер [16], А.Н. Зарубин |25], В.И. Жегалов [26], А.М. Нахушев [47], Хе Кан Чер [75, 76], М.М. Смирнов [64],
C. Morawetz [84], Е.И. Моисеев [46], С.С. Исамухамедов [27], Т.Ш. Кальменов [28], Т.Д. Джураев, Ю.П. Апаков [22], К.Б. Сабитов, А.Н. Кучкарова [57], Н.Б. Плещинский [48, 49], К.А. Губайдуллин [21], A.A. Косове:; [29], A.A. Полосин [50] и другие.
С. Геллерстедт [80] для уравнения
У У'хх Т Uyy 0, (1)
где т - натуральное нечетное число, в области D, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках Ai(ai,0) и Л2(а2,0), а при у <

О - характеристиками АС, СЕ, ЕС2, G2A2 уравнения (1), где Е(е, 0), ai < е < 02, исследовал краевые задачи с данными на RMjCiLMaCa (задача Gi) и сданными на ГиСх-ЕГЖСг (задача G2). Существование упомянутых задач доказано методом интегральных уравнений в случае, когда Г совпадает с "нормальной"кривой Го:
*2+(d^m+2 = 1'*>а (2)
Для уравнения М.А. Лаврентьева
sgn у ■ ихх + иуу = О
задача G подробно изучена A.B. Бицадзе [7]. Причем в этой работе единственность решения задачи Геллерстедта доказана на основании принципа экстремума при произвольной кривой Г , но при некоторых ограничениях на поведение производных их и иу в малой окрестности точки Е.
В работах C. Morawetz [84] единственность решения задачи G2 для уравнения Чаплыгина
■К(у)^хх 4* Uyy — О,
где у К (у) > 0 ври у > О, К(0) = О, К'{у) > О, К {у) - достаточно гладкая функция, доказывается методом вспомогательных функций и "аЬс"при некоторых ограничениях на рост градиента решения в окрестности точек А, Е и А2 и кривую Г. Например, кривая Г должна быть звездной относительно точки Е.
В.Ф. Волкодавов, М.Е. Лернер [16] для уравнения
sgn у ■ |утихх + иуу = 0, т > 0, а = — 1, а2 =
доказали единственность решения задачи G методом экстремума при произвольной кривой Г, но при условии, что
п+(х) = v~(x), — 1 < X < 1, X Ф е,

v+(n)= lim Uy(x,y), и-{х)= lim иу(х, у),
у—>0+0 у—*
и при условии
lim V-(x) — lim i2_(ж).
.т—>е—0 х—»е+
А.Н. Зарубин [25] исследовал краевую задачу типа Геллерстедта для уравнения смешанного типа с тремя линиями вырождения
УУ 1 )пхх + хиуу — 0,

тахи (х, у) — и(С2), £ И+. В силу линейности и однородности
уравнения (1.41) в области £>+, можно считать, что и (С}) > 0. Поскольку в области Г>+ функция и (х, у) является решением эллиптического уравнения, то (3 € Г и АВ , если и (х, у) не является тождественной постоянной.
Пусть <3 6 АВ — АО и О В и О, где О (0, 0), т.е. О = (х0, 0), —1 < Хо < 1. Если <3 £ АО, то —1 < жо < 0. В этом случае, в силу леммы 1.1: и_ (хо) < 0, а в силу леммы Бабенко ( [63], с.58) иу (хо, 0 + 0) < 0 , что противоречит условию сопряжения (1.47). Если <3 € О В, то в силу леммы 1.2 снова получаем противоречие.
Пусть (3 = 0- точка изолированного максимума, т.е. хо = 0. Пусть г € (0, и (<Э) ). Число г возьмём настолько близким к числу и (С[)), чтобы кривая 7, составленная из линий уровня и (х, у) = г > 0, целиком лежала в малой окрестности С/ (<3, 5), 0 < 6 < 1 /2 . и для всех точек (х, у), принадлежащих области 07 , ограниченной кривой 7 и осью Ож, и(х, у) ^ г. Обозначим через А1 (а, 0) и В1 (Ъ, 0) точки пересечения кривой 7 с осью Ох, где —5 <о<0, 0 < Ъ < 5. В области 1)7 введём функцию у (х, у) = и (х, у) — г, которая удовлетворяет условиям г;|т — 0, у (х, у) ^ 0 на Е>7 , утухх + =
в П7 , и рассмотрим интеграл
JJ V (утУхх + Ууу) йхйу = 0.

Отсюда интегрируя но частям, получим
УI (ут К)г + (««»)„) йх<1у - Л (уту1 + ф;) а&ф/ = 0. (1.50)
1>7 л>
Применив к (1.50) формулу Грина, в силу граничного условия г>|7 = 0, будем иметь
J V (х, 0) уу {х, 0) Ух + {ут,их + 'иу) Лхйу ~ 0. (1-51)
Л7В7 о
В силу того, что уу (х, 0) = иу (х, 0 + 0), согласно условию
сопряжения (1.47), уу (х, 0) — — у1_ (х), — 1 < х < 0 и уу(х, 0) = у2_(х), 0 < х < 1. В малой окрестности [/((3) функция у (х, 0) при х —> 0 — 0 монотонно возрастает к значению у (С?). Пусть [—<5, 0) -такой промежуток оси у — 0, где у (х, 0) возрастает при х —*■ 0 — 0.