Задачи идентификации коэффициентов многомерных параболических уравнений

• Автор: Баранов, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 121 с.

Некоторые определения и теоремы функционального анализа и дифференциальных уравнений
Глава I. Задача идентификации двух неизвестных коэффициентов многомерного параболического уравнения

1.1. Постановка задачи

1.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче

1.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи

1.4. Построение решения исходной задачи

1.5. Доказательство выполнения условий переопределения

1.6. Единственность решения исходной задачи

Глава II. Задачи идентификации трех неизвестных коэффициентов многомерного параболического уравнения

1. Определение трех младших коэффициентов

1.1. Постановка задачи

1.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче
1.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи
, 1.4. Построение решения исходной задачи
1.5. Доказательство выполнения условий переопределения
1.6. Единственность решения исходной задачи
2. Определение коэффициентов при игг^,х), и(<,т), /(1,ж, г)
2.1. Постановка задачи

2.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче
2.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи
2.4. Построение решения исходной задачи
2.5. Доказательство выполнения условий переопределения
2.6. Единственность решения исходной задачи
3. Определение коэффициентов при и22(£, х), нг(£, х), /(£, х, г)
3.1. Постановка задачи
3.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче
3.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи
3.4. Построение решения исходной задачи
3.5. Доказательство выполнения условий переопределения
3.6. Единственность решения исходной задачи
4. Определение трех старших коэффициентов
4.1. Постановка задачи
4.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче
4.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи
4.4. Построение решения исходной задачи
4.5. Доказательство выполнения условий переопределения
4.6. Единственность решения исходной задачи
Глава III. Задача идентификации четырех неизвестных коэффициентов многомерного параболического уравнения
1.1. Постановка задачи
1.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче
1.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи
1.4. Построение решения исходной задачи
1.5. Доказательство выполнения условий переопределения
1.6. Единственность решения исходной задачи
Список литературы
Публикации по теме диссертации

Обратными задачами для дифференциальных уравнений называются задачи определения входных данных - коэффициентов, правых частей дифференциальных уравнений, границ области, граничных или начальных условий по дополнительной информации о решениях уравнений. Эту дополнительную информацию часто называют условиями переопределения.
Обратные задачи возникают во многих областях науки и техники. Необходимость использования обратных задач возникает, например, в следующих случаях:
• создание приборов, техники с заранее заданными или заранее планируемыми характеристиками;
• оценка экспериментальных данных, получение тех или иных выводов по косвенным наблюдениям;
• обработка данных, полученных в результате проведенного эксперимента.
Теория и методы решения обратных задач составляют важное направление научных исследований в области дифференциальных уравнений в частных производных.
Обратная задача называется одномерной, если коэффициенты уравнения зависят только от одной пространственной переменной. В случае,

ГЛАВА II

= с-;Лтт;(Де^ - уз)(^/о - /2)+
5й(Де(Д))4 (142)
+ Ле(С3 - У4)(^Л - У>/0) + (Л - СО (ДА; - ^/2)),
6(*’*) = (Де(Сз - п]{кк - м)+
5г(Де(Д))4 (1.43)
+ Де((С2 - У3)(^/2 - /оУз)) + (С! - к)Ие{Ь¥г - А:/2)),
= о1иГХ\{Яе^ ~ Уз^Уз ~
5«(Де(Д)) V (4,44)

Де(С3 - У4)(^2 - ¥>*) + *2(£1 ~к)~ Де(ЗДУз)),
является действительнозначным решением задачи (1.1) - (1.3) в С?[о,«„]-
Здесь функция ж(А, ж,г/) — решение задачи (1.16), (1.14), Уз(х,у) = + 00 +00
—г / у3ьс1у, У4(ж,у) = / уАуйу - преобразование Фурье по переменной
— ОО —оо
г функций иггг(А, х, г) и игггг(А, х, г) при 2 = 0 соответственно.
Ниже мы докажем, что при достаточно малом А* в выражениях (1.42) - (1.44) можно снять срезку.
Используя (1.40) из (1.42) - (1.44) получим, что решение н(А, ж, г), а(А, ж), Ь(А,ж), с(А,ж) принадлежит классу
Г <Ф
У (А*) =|Л(А,ж,2г), сг(^ж), 7(*,ж), ФЦ,х) | В^—Л,
М < 2, у = 0,5, € С(С[о,ц]); <т, 7, ф £ (П[0)4,])|
и удовлетворяет неравенствам
5 <9*
< С, (ф,х,г) е <2[о,ц], (1-45)

|а|<2 Л
|£>“а(А,ж)| + 53; |Я£Ь(<,®)| + 53 1£>"с(^ж)1 ^ ^ (*’ж) е %*.]•
Н<2 |а|<2 |а|<2
(1.46)
Применим обратное преобразование Фурье по переменной у к задаче (1-16), (1.14). Получим, что функция и(ф, х,г) удовлетворяет уравнению
щ = Ьх(и) + игг + аиг + Ьи + с/ (1-47)
и начальным данным и(0, ж, г) = но(ж, г).