Задача Моравец для одного класса уравнений смешанного типа

• Автор: Акимов, Андрей Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 99 с.

Глава 1. Экстремальные свойства решений задачи Моравец

§1.1. Постановка задачи

§1.2. Экстремальные свойства решений в области гиперболичности

§1.3. Экстремальные свойства решений в смешанной области

§1.4. Единственность решения задачи Моравец для уравнения Чаплыгина

§1.5. Единственность решения обобщенной задачи Моравец для

уравнения Чаплыгина

Глава2. Существование решения задачи Моравец для обобщенного уравнения Трикоми

§2.1. Постановка задачи Моравец для обобщенного уравнения

Трикоми

§2.2. Краевые задачи в эллиптической и гиперболической областях

§2.3. Существование решения задачи Моравец в случае ортогонального подхода эллиптической границы к линии вырождения
§2.4. Существование решения задачи Моравец в случае произвольного подхода эллиптической границы к линии вырождения

Глава 3. Построение рещения задачи типа Моравец для уравнения смешанного типа методом спектрального анализа
§3.1. Задача на собственные значения
§3.2. Построение решения задачи типа Моравец
Литература

В 20 - х годах прошлого века первыми исследованиями в теории уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа явились работы Ф. Трикоми. Изучаемая им задача стала классической и теперь известна в литературе как «задача Трикоми».
Обнаруженные в конце 40-х годов 20-го столетия многочисленные приложения уравнений смешанного типа в газовой динамике, в безмоментной теории оболочек, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, аэродинамике дали новый толчок исследованиям в этой области. Пионерские работы в области трансзвуковых течений были проделаны Ф.И. Франклем и К. Гудерлеем. Фундаментальными работами стали также труды М.А. Лаврентьева, A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко. В этих работах наряду с классическими в теории уравнений смешанного типа были поставлены и решены новые задачи.
В дальнейшем краевые задачи для уравнений смешанного типа изучались в работах многих отечественных и зарубежных ученых. Обзор основных результатов можно найти в монографиях A.B. Бицадзе [5] , Л. Берса [4], К. Гудерлея [9], Т.Д Джураева [11], Е.И. Моисеева [17], М.М. Смирнова [31], М.С. Салахитдинова [28].
Исследуя обтекание клина сверхзвуковым потоком газа, Ф.И. Франкль [35] показал, что если перед клином образуется зона дозвуковых скоростей, то возникает новая краевая проблема (задача F), в которой на плоскости

Глава 2. Существование решения задачи Моравец для обобщенного уравнения Трикоми
В данной главе приведены теоремы существования задачи типа Дарбу в области гиперболичности и задачи Дирихле - Неймана в области эллиптичности для обобщенного уравнения Трикоми. Получены достаточные условия на граничные функции для существования решения задачи Моравец в случае нормального подхода кривой Г. Доказана теорема существования обобщенного решения задачи Моравец в случае произвольного подхода кривой Г.
§2.1. Постановка задачи Моравец для обобщенного уравнения
Трикоми
Рассмотрим обобщенное уравнение Трикоми
Lu = sgny• | у т ихх + иуу = 0, т = const > 0, (2.1)
в области D, ограниченной кривой Г из класса Ляпунова, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках А{ 0,0) и В( 1,0), и характеристиками 71 и 72 уравнения (2.1) при у < 0:
2 , ■ т+2 2 , ч т+2
^ : f = ж 2 =0> 72 : г/= х + —-г(-у) 2 = 1.
т + 2 т +
Пусть Щ = D П {у > 0}, D- = D П {у < 0}; х = ж(5), у = y(s) -параметрические уравнения кривой Г. Для уравнения (2.1) в области D поставим задачу типа Неймана.