Задача Дирихле и видоизмененные задачи для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением

• Автор: Трегубова (Сулейманова), Альбина Хакимьяновна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 115 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Задача Дирихле и видоизмененные задачи для уравнений смешанного типа со степенным характеристическим вырождением
§1.1. Построение частных решений уравнения смешанного типа (1.1)
в прямоугольной области при т > О
§1.2. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа (1.1) в прямоугольной области при 0<т<1
§1.3. Видоизмененные граничные задачи для уравнения смешанного
типа (1.1) в прямоугольной области при 1<т<2
§1.4. Видоизмененные граничные задачи для уравнения смешанного
типа (1.1) в прямоугольной области при т
Глава 2. Задача Дирихле и видоизмененные задачи для уравнений смешанного типа с фиксированным характеристическим вырождением
§2.1. Построение частных решений для уравнения смешанного типа
(2.1) в прямоугольной области

§2.2. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа (2.1) в прямоугольной области при 0<а<1
§2.3. Видоизмененные граничные задачи для уравнения смешанного
типа (2.1) в прямоугольной области при а >
§2.4. Видоизмененные граничные задачи для уравнения (2.1) в прямоугольной области при а = 1
Библиографический список

Введение
Теория краевых задач для уравнений смешанного типа, в силу своей прикладной и теоретической значимости, является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, поэтому постановка и исследование краевых задач для таких уравнений привлекают внимание многих ученых.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [70, 71] и С. Геллерстедта [87], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа с одной линией параболического вырождения.
Систематическое изучение краевых задач для уравнений смешанного типа проводилось в работах Ф.И. Франкля [73], К.И. Бабенко [2], A.B. Бицадзе [5] -[6], В.Ф. Волкодавова [11], С.Г1. Пулькина [39], М.М. Смирнова [55], [56] , М.С. Салахитдинова [53], [54], В.И. Жегалова [13], [14], А.М. Нахушева [35] - [37], Е.И. Моисеева [33], К.Б. Сабитова [43] - [47], O.A. Репина [42], А.П. Солдатова [57] - [58], Т.Ш. Кальменова [24], P.C. Хайруллина [75] - [77], J.R. Cannon [88], D. Dunninger [89] - [90] и других математиков.
Следует отметить, что подавляющая часть работ по уравнениям смешанного типа относится к исследованию краевых задач смешанного типа с нехарактеристическим вырождением. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением изучены сравнительно мало.

на основании (1.64) с учетом оценки (1.70) при у 6 [0, /3] и достаточно больших к оценим
Рк(у) <
ZkJ_L (ркад) уКх. (РкУч) 2? ¥ 2(7 } у/кУ [ркач) у/у1х (РйР9)
ЗА (ркР9) Со Г Л (рл/39) Со 2<7

у/к Ух (ро:9)

< С2.
(1.75)
где где Сг — здесь и далее положительные постоянные.
На основании формул дифференцирования цилиндрических функций (1.31), (1.32), найдем
р'к(у) = да (- (р*а:9) (р*р9) {ркач) (р*/у9)Д*(а, /3))
Отсюда при у € [0, /3] и больших /г имеем (
(р*а9)р9 1/2_!(р9)| |У_г(р*а9)у9 1/21ш_!(р9)Г
51 Лгм1 —ттыт,—+—пШ)са—
2д 2д >

< А;С2[У У(ра9)| < С3/г.
На основании формул (1-41) - (1.44) для Рк(у) имеет место представление
Рк{у) = М2у-тРк(у). (1.76)
Тогда с учетом оценки (1.75) из равенства (1.76) имеем Р'{у) < С3&2.
Аналогично на основании соотношений (1.65), (1.70) и асимптотических формул (1.23) - (1.26), (1.74) оценим функцию С2к(у)- При £ < у < (3 и боль-

к имеем:
ту) I <
у/к/у1тч)К4- (рьу11)
/ш(Рй/3«)С0

л/кт/уК1(ркРч)1ЛРкУ
ЫРк(Зо)С0
< СА. (1.77)
Если 0 < у < е, то аналогично получим
|<Э*Ы1 < Съу/кКАркУч) < Сък- (1.78)
Из оценок (1.77) и (1.78) следует, что Qkiy)] < при любом у € [0,/3].