Вариационная задача Дирихле для некоторых классов эллиптических операторов, вырождающихся на многообразиях произвольной размерности

• Автор: Тарасова, Галина Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 87 с.

1 Внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на многообразиях различных размерностей

1.1 Теоремы вложения пространств функции, определенных

во внешности ограниченной области

1.2 Внешняя вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями

1.3 Внешняя вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями на многообразиях
1.4 О решениях вариационной задачи Дирихле, стабилизирующихся к заданному многочлену
2 Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на т-мерных гиперплоскостях

2.1 Весовые пространства функций, определенные в П = П'' Нт

2.2 О вариационной задаче Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на т-мерных гиперплоскостях
2.3 Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями на гиперплоскости
3 Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на неограниченных ш- мерных многообразиях Ов
3.1 Теоремы вложения для некоторых весовых пространств функций
3.2 Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на неограниченных т-мерных многообразиях

3.3 Вариационная задача Дирихле для вырождающегося квазилинейного уравнения
Литература

Одним из методой исслсдошшия граничных задач для вырождающихся дифференциальных уравнений является метод, основанный па теории вложения весовых функциональных пространств. Этот метод впервые был продемонстрирован Л.Д. Кудрявцевым в работе “Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений” [30] и получил дальнейшее развитие в работах С.М. Никольского [52-50], П.И. Лизоркипа [30-39], С.В. Успенского [70-79], О.В. Бесова [2], X. Трибеля [75], А. Куфнера |32], II.В. Миро-шипа [44-51], И.Е. Егорова [10], К.Х. Бойматова |3-8], С.А. Исхокова |15-25] и других. Большинство этих исследований относится к эллиптическим дифференциальным уравнениям, определенным в некоторой области Q С R'1 и вырождающимся на многообразии размерности п— 1.
В частности, в работе Н.В. Мирошина [40] ])ассмотрепа обобщенная внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора, заданного во внешности ограниченной области П С R", коэффициенты которого могут степенным образом вырождаться на (п — 1)-мерпой границе 00, и иметь степенные особенности па бесконечности. Им доказана теорема о гладкости решений рассматриваемой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов и правой части уравнений. Также доказана фредгольмовоегь задачи, в которой па конечной части границы задаются нулевые граничные данные, по требуется, чтобы па бесконечности искомое решение выходило на заданный полином.
В работе Салманова Ю.Д. |61] изучаются теоремы вложения для весовых классов функций, определенных в ограниченной области и-мерпого пространства, имеющей границу, состоящую из многообразий любых измерений.
Краевые задачи для эллиптических уравнений в полупространстве R'I = {х — (х®,хп) £ Rn',xn > 0}, вырождающиеся па гиперплоскости хп = 0, рассмотрены в работах Ю.В. Рыбалова [59-С0| , И.И. Матвеевой 42-43], С.А. Исхокова [1G-18, 22], С.В. Успенского [70], В.В. Катрахова. [2G, 27| и других.
В работе С.А. Исхокова [22], в частности, рассматриваются весовые

щУгІ8 (П*
1 2 ;п +8,0-8'
< С

7 о.
(П*)
(1.4.20)
2;— а + #,—/?—«
Доказательство. Сделаем замену искомой функции, положив и;

и — /. Тогда функция ю ищется в классе IV2-д р7 (^*) как решение уравнения
а(ги, <р) = -а(/>) = (С, у?) для всех (р € Со°(0*). Так как но лемме 1.4.4 функционал
С е (П*).
то применяя теорему 1.2.4. получим, что га е ^ (^*) 11 справедливо неравенство
иг, л (1Г)
’ ‘2; а +*;/?-.■; ' '
< С
Д СГТ , (П*)
2;- « -в;-/?-»
(1.4.21)
Так как ю = и — /, то в силу (1.4.21) получим (1.4.20). Теорема доказана.