Бифуркационные процессы и хаотические колебания в цепочках связанных осцилляторов

• Автор: Глызин, Сергей Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 318 с. : ил.

Оглавление
Введение

1. Диффузионное взаимодействие двух близких осцилляторов

1.1. Слабое диффузионное взаимодействие двух близких осцилляторов

1.1.1. Постановка задачи

1.1.2. Динамические свойства нормальной формы

1.1.3. Обоснование результатов

1.1.4. Динамика дары диффузионно связанных уравнений

Хатчинсона

1.2. Динамика взаимодействия пары осцилляторов нейронного типа

1.2.1. Постановка задачи

1.2.2. Построение нормальной формы системы
1.2.3. Сценарии фазовых перестроек нормальной формы
1.2.4. Численный анализ системы из двух связанных нейронов
2. Нерегулярные колебания в цепочках из трех однонаправленно связанных колебательных систем
2.1. О явлениях хаоса в кольце из трех
однонаправленно связанных осцилляторов
2.1.1. Локальная постановка проблемы
2.1.2. Анализ нормальной формы
2.1.3. Нелокальные случаи
2.2. Колебания в кольце из трех однонаправленно связанных разностных генераторов
2.2.1. Алгоритм нормализации отображений в окрестности
неподвижной точки
2.2.2. Построение отображения, моделирующего динамику
взаимодействия трех автогенераторов
2.2.3. Нормальная форма отображения

2.2.4. Динамические свойства нормальной формы отображения
3. Цепочки диффузионно слабо связанных осцилляторов
3.1. Динамические свойства систем фазовых уравнений диффузионно слабо связанных осцилляторов
3.1.1. Постановка задачи
3.1.2. Построение системы фазовых уравнений
3.1.3. Динамические свойства фазовой системы в случае отрезка
3.1.4. Численные оценки старшего ляпуновского показателя
и ляпуновской размерности фазовой системы при п >
3.1.5. Фазовая система диффузионно связанных осцилляторов на окружности
3.2. Численный анализ разностных аппроксимаций уравнения Гинзбурга - Ландау при стремлении коэффициента диффузии к нулю
3.2.1. Случай граничных условий Неймана
3.2.2. Случай краевой задачи на окружности
4. Нелинейные волновые уравнения и их дискретные аналоги
4.1. Хаотическая буферность в цепочках связанных осцилляторов
4.1.1. Постановка задачи
4.1.2. Основной результат
4.1.3. Случай граничных условий Неймана
4.1.4. Построение цепочек с хаотической буфсрностью
4.2. Об одной модели явления хаотической буферности
4.2.1. Постановка задачи
4.2.2. Основной результат
4.2.3. Выводы
4.3. К вопросу о реализуемости сценария развития турбулентности
по Ландау
4.3.1. Введение
4.3.2. Общие свойства модели
4.3.3. Нелокальный случай
5. Системы с полутора степенями свободы
5.1. Явление буферности в системах с полутора степенями свободы
5.1.1. Физическая постановка задачи
5.1.2. Исследование квазилинейного осциллятора

5.1.3. Анализ уравнений маятникового типа
5.1.4. Результаты численного анализа
5.2. О предельных значениях функций
Мельникова на периодических орбитах '
5.2.1. Постановка задачи и описание результатов
5.2.2. Обоснование результатов
5.2.3. Случай уравнения маятникового типа
5.2.4. Анализ примера
6. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона
6.1. Постановка задачи и линейный анализ
6.2. Метод квазинормальных форм и результаты его применения
6.3. Анализ модельных краевых задач
Заключение
Литература
А. Особенности динамики простейших нелинейных дифференциальных уравнений с двумя запаздываниями
А.1. Постановка задачи
А.2. Локальный анализ
А.2.1. Исследование характеристического квазимногочлена
А.2.2. Построение нормальной формы
А.З. Численный анализ исследуемой системы . :
Б. Устойчивые режимы системы (6.3.30)
Б.1. Случай N
Б.2. Случай N
Б.З. Случай N

цикла (х > хпД, а ниже кривой - неустойчивого (х < х-д). Формула зависимости, следующая из соотношения dff)o = 0, имеет вид
_ — sin 25 + а/9 + 6 cos 25 — 3 cos2 25 + sin2 25 0 3(1 +cos 2(5)
Условия устойчивости состояний равновесия А и В дают величину пр. Потеря устойчивости состояниями равновесия А я В происходит колебательным образом, и для того чтобы определить, какие при этом появляются режимы, следует найти ляпуновскую величину Йл,0+*сЛ,0 в этой точке. Применим для этого формулы (1.1.7) к системе (1.1.13) в точке А или В. В силу того, что формулы для состояний равновесия А, В, С, D крайне громоздки, не удалось получить компактного аналитического выражение как для х, так и для ляпуновской величины d,о + гсл,о- При этом численное определение этих величин не представляет труда. В приложении к пособию [57] приведена программа для программного пакета Mathematica, с помощью которой могут быть получены значения dA,o(po,5). Кривая с номером семь на рис. 1.1 представляет график корня уравнения 5а,о(&о> 8) — 0. При этом для значений 5, &о ниже этой кривой потеря устойчивости состояний равновесия А и В происходит мягко с рождением устойчивых ЦИКЛОВ С А И С в (х < хс), а выше кривой — жестко. В последнем случае при х > хс в данные состояния равновесия стягиваются неустойчивые циклы.
Основной результат данной главы состоит в том, что кривая с номером семь на рис. 1.1 разделяет области параметров, соответствующие хаотическому и иехаотическому сценариям фазовых перестроек, а верхние ветви кривых с номерами шесть и семь выделяют область хаотического сценария с каскадом бифуркаций хаотических аттракторов, описанных в теореме 1.3.
Обоснование данного результата возможно лишь с применением численных методов. Перейдем к описанию этих методов и способов определения бифуркационных значений параметра х из тех, которые не удалось найти аналитически.
Сразу отметим, что при вычислениях существенно использовалось следующее свойство системы (1.1.13).
Лемма 1.4. При любых начальных условиях траектории системы (1.1.13) начиная с некоторого момента s остаются в области 5,l(s) + £f(s) 2, 0 ct(s) 27г фазового цилиндра данной системы.
Доказательство. Обозначим V = тогда из (1.1.13) имеем
= 2V - 2£{ - 2$ - 2d cos - 2ф£> cos а).
(1.1.31)