Аттракторы динамических систем, связанных с параболическим уравнением

• Автор: Лебедев, Андрей Валентинович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 92 с. : ил

Исследование структуры в целом бесконечномерных динамических и по-лудинамических систем является бурно развивающейся областью современной математики [20], [34]. Особенно важны и интересны для исследования так называемые эволюционные системы, порождённые уравнениями в частных производных. При этом особое внимание уделяется структуре глобальных аттракторов таких систем [1], [29], [17]. Кроме вопроса о структуре аттракторов, интенсивному изучению был подвергнут вопрос о зависимости аттракторов от возмущения системы [18], [20].
Наряду с исследованием самих бесконечномерных эволюционных систем, изучаются два класса конечномерных динамических и полудинамиче-ских систем, порождаемых либо дискретизацией соответствующего уравнения в частных производных, либо ограничением эволюционного уравнения на конечномерное положительно инвариантное многообразие (так называемое инерциальное многообразие) [16], [33]. Наиболее развитой областью теории бесконечномерных эволюционных систем является теория систем, порождённых параболическим уравнением в частных производных [21].
В диссертации изучается глобальный аттрактор для двух классов конечномерных динамических систем, порождённых дискретизациями параболических уравнений и ограничением соответствующих эволюционных систем на инерциальные многообразия.
В первой главе изучаются полные дискретизации задачи Дирихле для параболического уравнения

Щ = ихх +/(«)• (1)

Общая теория дискретизаций параболических уравнений начала развиваться после публикации работы O.A. Ладыженской [7], посвящённой глобальной устойчивости разностных схем для таких уравнений. Для некоторых схем было доказано существование глобальных аттракторов и были оценены их размеры и хаусдорфова размерность. Исследование динамических систем, порождённых полными дискретизациями параболических уравнений, было продолжено в работах различных авторов, отметим, например, работу Т. Эйролы и С. Ю. Пилюгина [15]. Во всех упомянутых исследованиях дискретизация по временной переменной t использовала простейший метод - метод Эйлера. В первой главе диссертации изучается глобальный аттрактор для динамической и полудинамической систем, порождённых полной дискретизацией параболического уравнения (1), в которой дискретизация по времени использует многошаговые интерполяционные методы

Адамса. Предполагается, что нелинейность / удовлетворяет условию Липшица с константой <)' и условию

х{(х) ^ ао + ацж2, где «о > 0, 0 < а < 7Г2.

К уравнению (1) применяются численные схемы: по пространственной переменной х - стандартная аппроксимация второй производной
с фиксированным шагом й = (Аг - натуральное число), а по временной переменной £ - семейство неявных (интерполяционных) методов Адамса [10] порядка р ^ 2 с шагом /г.
Исследуется бесконечная система разностных уравнений
где ср). - коэффициенты метода Адамса порядка р, отображение / - естественное распространение нелинейности / на пространство Е1'у, а квадратная матрица А возникает из аппроксимации второй производной. Первый член начальных данных г;0 для системы (2) определяется из начальных данных задачи для параболического уравнения, а остальные р — 2 члена получены, возможно, иным приближенным методом.
Получены следующие результаты.
Теорема 2.1. Для любого натурального числа N и для всех к, удовлетворяющих неравенству
рекуррентное соотношение (2) разрешимо относительно ип+1 и задаёт, липшицеву дискретную полудинамическую систему.
Обозначим через у? полудинамическую систему, возникающую при описанной дискретизации.
Условие возникновения из рекуррентного соотношения (2) динамической системы, т.е. условие обратимости соотношения (2), оказывается принципиально различным для случаев р = 2 и р > 3.
Лемма 3.1. Пусть р — 2. Если выполнено условие (3), то рекуррентное соотношение (2) задаёт липшицеву дискретную динамическую систему.

1п , 772
Ср1 (|А[ + 8)
(3)

Лемма 3.2. Пусть р > 3. Если выполнены условие (3) и условие
1сррIV
Е Ы
к=з
где величина у = ^(Л^) определяется формулой
I . _11—1 4 . 2 пё
п — А = — вт —,
' 1 1 И 2 '
то рекуррентное соотношение (2) задаёт липгшщевгу дискретную динамическую систему.
Теорема 4.1. для натурального числа N выполнено условие
01<77(ЛГ), (4)
то найдётся такое /?о = ^о(^) > 0, что при всех 0 < /г < /го полудинами-ческая система (р диссипативна по Левинсону.
Известно [30], что любая диссипативная полудинамическая система имеет глобальный аттрактор. В диссертации доказывается, что аттрактор А полудинамической системы <р лежит в замкнутом ограниченном множестве У/?'1, являющемся декартовой степенью замкнутого шара
= {х € Б/' : х2 < —+ к(Тг)ь ,
I у - а )
где &(/г) - положительная функция, обладающая свойством Нт к(1г) > 0.
Равномерная по всем достаточно малым шагам дискретизации оценка хаусдорфовой размерности аттрактора полудинамической системы ср доказана в следующей теореме.
Теорема 5.6. Справедливы следующие утверждения.
1) Если константа Липшица нелинейности / удовлетворяет неравен-ст.ву
5 < я2,
то для любого натурального числа Л, удовлетворяющего условию (4), найдётся такое /г3 = Ь,(/V) > 0, что при всех 0 < /г < 1г полудинамическая система р обладает глобальным аттрактором А, хаусдорфова размерность которого не превосходит. 1.
2) Если выполнено неравенство
5 ^ я2,

Теорема 1.14. Пусть рі рт - все т,очки покоя динамической системы <р в области G и ..., Um - их окрестности в области G. Тогда существует число Т, зависящее от окрестностей (Ui)i=1 т> такое что для любой точки х Є G справедлива оценка
mes {t > 0, таких что Доказательство. Рассмотрим множество
В=ъ и Ui.
г=1 ї7т
Легко видеть, что множество В компактно. Оно не содержит точек покоя динамической системы <р, а потому, в силу леммы 1.12, оно состоит из блуждающих точек динамической системы <р. Следовательно, в силу леммы 1.13, найдётся такая константа Т > 0, зависящая от компакта В, а следовательно, от выбора окрестностей U Um. что любая траектория динамической системы ц>, начавшаяся в замыкании области G, проведёт вне окрестностей U] Urn время, оценённое сверху числом Т.
Теорема 1.14 доказана. □
§2. Выбор окрестностей точек покоя
Введём два обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем.
Для є > 0 я точки х Є Rn положим
Вє(х) = {у Є R : х-у< є}
- є-окрестность точки х.
Для є > 0 и множества С С R" положим
в є {С) = и ВД = {у є R '• dist (у,С) < є}

- г-окрестность множества С.
2.1. Динамическая система
Пусть и — F (и), как и прежде, - гладкая автономная система дифференциальных уравнений, порождающая динамическую систему <р (в текущем параграфе нам будет удобнее обозначать независимую переменную буквой и).
Сформулируем оставшиеся четыре ограничения на динамическую систему (р.