Асимптотические разложения решений третьего уравнения Пенлеве

• Автор: Гриднев, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с.

и Оглавление

1 Степенные разложения решений третьего уравнения Пен-леве

1.1 Степенная геометрия

ф 1.1.1 Термины и определения

1.1.2 Выделение укороченных уравнений

1.1.3 Решение укороченного уравнения

1.1.4 Критические значения укороченного решения

1.1.5 Носитель разложения (1.5)

1.1.6 Вычисление коэффициентов разложения

1.1.7 Вычисление второго приближения

1.1.8 Вопросы сходимости

1.1.9 Вспомогательные утверждения
1.2 Степенные разложения решений модифицированного третьего уравнения Пенлеве в окрестности точки = О
1.2.1 Носитель и многоугольник уравнения
1.2.2 Симметрия

1.2.3 Нормальные конусы граней
Ф 1.2.4 Разложения решений, соответствующих вершинам
1.2.5 Разложения решений, соответствующих ребрам

1.2.6 Сводка результатов и их обсуждение
1.3 Степенные разложения решений модифицированного третьего уравнения Пенлеве в окрестности точки го ф
1.3.1 Объекты степенной геометрии для уравнения (1.47)
1.3.2 Разложения решений, соответствующие вершинам
1.3.3 Разложения решений, соответствующие ребрам
1.3.4 Сводка результатов
1.4 Степенные разложения решений третьего уравнения Пенлеве
в окрестности точек £ = 0 и I = оо
Ф 1.4.1 Объекты степенной геометрии для уравнения (1.52)
1.4.2 Степенные разложения решений, соответствующие
вершинам
1.4.3 Степенные разложения решений, соответствующие
ребрам
1.4.4 Сводка результатов и их обсуждение
1.5 Степенные разложения решений третьего уравнения Пенлеве
в окрестности точки £о Ф
1.5.1 Объекты степенной геометрии для уравнения (1.77)
1.5.2 Степенные разложения решений, соответствующие
вершинам
1.5.3 Степенные разложения решений, соответствующие
ребрам
1.5.4 Сводка результатов
1.6 Экспоненциальные добавки к степенным разложениям решений третьего уравнения Пенлеве

1.6.1 Добавки к степенным разложениям решений уравнения (1.4)
^ 1.6.2 Экспоненциальные добавки к разложениям решений
третьего уравнения Пенлеве
2 Степенно-логарифмические разложения решений третьего уравнения Пенлеве
2.1 Степенно-логарифмические разложения решений уравнения
(1-4)
2.2 Разложения, соответствующие ребру
® 2.3 Разложения, соответствующие ребру
2.4 Сводка результатов и их обсуждение
3 Сложные разложения решений третьего уравнения Пенле-
* ве
3.1 Сложные разложения решений уравнения (1.4)
3.1.1 Случай вертикального ребра
3.1.2 Случай наклонного ребра
3.1.3 Случай вершины
^ 3.1.4 Решение задачи
3.2 Разложения решений, соответствующие ребру
3.3 Разложения, соответствующие ребру
3.4 Сводка результатов и их обсуждение

Литература

где с_ 1 = —а/с, с = Ьс/(4с — а2), а остальные коэффициенты С2к+ однозначно определены.
2. 1т(ц) = 0, |?7| не является четным числом.
По лемме 1.2 множество
К(*0 = {—1 + 2т + п{к — 1), целые т,п >0,1 + т > 0}
Так как к не лежит в множестве К = {—1 + 2т, т > 0}, то по теореме
1.4 имеется разложение
го = С-гГ1 + ^ с3Ь8, (1-71)

где показатели степеней в лежат в множестве К(Ац), при этом коэффициент с_ 1 = —а/с, если |»7| > 2, то щ = Ьс/(4с — а2) как и в предыдущем случае, Ск, произволен, а остальные с3 однозначно определены.
3.1ш(?7) = 0, г) — четное число. Этот случай будет рассмотрен позже, так как он не укладывается в теорему 1.4.
Ребро Гд^. Ему соответствует укороченное уравнение
/д1^ =£ сИ + сЬхюА = 0. (1-72)
Согласно (1.53) нормальный конус Ид1^ = {Л(1,0), Л > 0}, поэтому Г = 0,Ш = 1,<-> ОО и первое приближение решения имеет ВИД и>
Подставив это выражение в (1.72), получаем М + сс^Ь = 0. Из этого уравнения следует, что
со = Р{/--, ^ = 0,1,2,3. (1.73)
V с
Согласно замечанию 1.2 решение алгебраического укороченного уравнения (1.72) не имеет критических значений и функция и{к) равна константе, отличной от нуля:
и = 4ссд. (1-74)