Критические области параметров и специальные классы решений эллиптических уравнений и систем

• Автор: Бобков, Владимир Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Эллиптические уравнения с выпукло-вогнутой нелинейностью

1.1. Основные результаты

1.2. Анализ функционала по методу расслоений

1.3. Существование знакопеременного решения

1.4. Качественные свойства знакопеременного решения

1.5. Непрерывность множества знакопеременных решений но параметру

Глава 2. Эллиптические уравнения с нелинейностью неопределенного знака

2.1. Основные результаты

2.2. Анализ функционала по методу расслоений

2.3. Существование знакопеременного решения
2.4. Качественные свойства знакопеременных решений
2.5. Непрерывность множества знакопеременных решений по параметру
Глава 3. Эллиптические системы с нелинейностью неопределенного знака
3.1. Основные результаты
3.2. Анализ функционала по методу расслоений
3.3. Свойства критической кривой
3.4. Существование решений задачи
3.5. Непрерывность множества основных состояний
3.6. Асимптотика ветвей основных состояний

3.7. Асимптотика норм основных состояний
3.8. Сравнительный анализ системы уравнений и ее скалярного аналога
Заключение
Список сокращений и условных обозначений
Список литературы
Приложение А
Приложение Б

Введение
Актуальность темы исследования. Последние несколько десятилетий характеризуются большим вниманием к исследованию вопросов существования решений краевых задан для различных классов эллиптических уравнений и систем. Исходя из физических потребностей, а также внутренней логики развития математики, особый интерес представляют вопросы о существовании решений, наделенных специальными качественными характеристиками. В частности, выделяются классы решений по свойствам: регулярности (классические, слабые), знакопостоянства/зпакопеременности, справедливости/вырождения принципов максимума (строго положительные, компактоны), симметричности/несимметричности, наименьшей энергии (основные состояния), минимальности (в поточечном смысле), по соответствию решений критическим значениям параметров уравнений (бифуркационные точки) и др.
Данная диссертационная работа посвящена развитию теории существования следующих специальных классов решений:
- знакопеременных решений с точным числом узловых областей,
- положительных решений наименьшей энергии (основные состояния). Эти классы решений изучаются применительно к краевым нелинейным эллиптическим задачам со “сложной” геометрией нелинейности, т.е. не монотонной, не коэрцитивной, не однородной, в которой имеется существенная зависимость от параметров. В работе данные классы решений объединяются единой методологией, применяемой к их исследованию, которая основана на развитии вариационных принципов наименьшего действия.
Рассматриваемые в диссертации нелинейные задачи можно разделить на три группы, модельными представителями которых являются:
1. Эллиптическое уравнение с выпукло-вогнутой нелинейностью
— Ари = А|и|'7-2« + |и|7~2г<, х € и|эп = 0, (1)

Лемма 1.5.1. Пусть (1.3) выполнено, X < Ад и Хк —> А при к —у оо. Тогда Е удовлетворяет следующему варианту условия Пале- Смейла на Л!д.' если {щ.} € Я1к, и при этом
Ек(ик) огранично и DEk(uk) —> 0, (1-26)
то {щ,} содержит сильно сходящуюся подпоследовательность oWq'p.
Доказательство. Пусть {гг*,} 6 удовлетворяет условиям леммы. Покажем сперва, что существуют константы К, К2-, такие, что 0 < К < |)_р < К% <
+оо для всех к G N.
Т.к. Ек(щ) ограничен, то из коэрцитивности Е на М (см. пункт 2 Леммы 1.2.4) несложно показать существование Кч < +оо, такого, что ||«ft||p < Кч-Оценка \щ\р > К > 0 следует из пункта 3 Леммы 1.2.6.
В виду ограниченности Цг^Цр < Кч, из теоремы Эберлейна-Шмульяна и теоремы вложения Соболева следует существование щ & Wq’p, такого что, с точностью до подпоследовательности, щ -4 щ сильно в Lr(Q), г G (1 ,р*), и Щ и0 слабо в Wl'p.
Т.к. DEk(uk) —> 0, мы имеем
(ЕЕхк(щ),щ - щ) = Vukp~2X7ukV{uk - и0) dx

икч 2ик(ик - щ) dx - KP 2ик(щ - tio) dx -4 0.

Но тогда из сильной сходимости ик —> Щ в Lr(0), г Є (1, р*) следует, что
X7ukp~2VukV(uk - и0) dx —> 0.
Используя (5'+)-свойство оператора — Ар (см. [77, Определение 5.8.31 и Лемма 5.9.14]), заключаем, что ик -4 щ сильно в Wq'p. Более того, т.к. Q(uo) = lim^ooQ(uk) = 0, мы получаем, что щ Є Л/д. □
Следующий результат является основным результатом параграфа.