Априорные оценки и существование ограниченных во всей плоскости решений квазилинейных эллиптических систем первого и второго порядка

• Автор: Джабборов, Абдукудус Абдуманонович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Худжанд
• Количество страниц: 90 с.

Введение •

Глава 1. Вспомогательные утверждения

§1. Основные вспомогательные факты

§2. Оператор Т и его свойства

Глава 2. Ограниченные и периодические решения квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка

§ 1. Априорные оценки ограниченных решений

§2. Априорные оценки периодических решений

§3. Существование периодических и ограниченных решений

3.1. Эквивалентность уравнения векторному полю

3.2. Вращение векторного поля

3.3. Существование периодических и ограниченных решений

Глава 3. Ограниченные и периодические решения квазилинейных
эллиптических систем двух уравнений
§1. Априорные оценки ограниченных решений
§2. Априорные оценки периодических решений
§3. Существование периодических решений
3.1. Эквивалентность задачи векторному полю
3.2. Вращение векторного поля и существование периодических и ограниченных решений
3.3. Пример
Литература-

Актуальность темы. Исследование задач об ограниченных во всей плоскости, а также двояко-периодических решений квазилинейных эллиптических уравнений и систем является особенно важным в связи с тем, что такие задачи изучены сравнительно мало. В диссертации изучаются квазилинейное уравнение вида
Ам> = Р(г,м>,м>-) + Дг,м>,м>~) (1)
и эллиптические системы вида
1г =Р(г,,0)) + /{г,м>,со),
[©* = 60,,®) + ё(г,м>,со).
Здесь функции Р и 6 двояко-периодические по г с основными периодами 2л и 2т, положительно однородные порядков т > 0 и к > 0, соответственно, по переменным У1>,а>,т.е.
Р(г,Лц',Ла>) = Л'"Р(г,м>,со), @(г,Лм',Лв)) = Л^(г, м>,со), 1>0, а функции /О, Щ и ё(г, со) удовлетворяют условиям
|/0,,®)|^ДО), ё(2,м>,со)
/3(г) = о(г'"), /?2 (г) = о(г4) при г—> со, Г = || + |©|.
Основополагающими работами по эллиптическим уравнениям и системам на плоскости являются труды М.А.Лаврентьева, И.Н.Векуа, Л.Берса, Л.Г.Михайлова, их учеников и последователей (см., например, [1, 8 - 14, 27 - 30]). Для линейных уравнений и систем в регулярном случае И.Н.Векуа и в сингулярном случае Л.Г.Михайловым построены достаточно полные теории (см., например, [11 - 14, 27 - 29]). Нелинейным, в частности квазилинейным эллиптическим уравнениям на плоскости посвящены сравнительно мало работ. Различные вопросы, такие как представление решений, краевые задачи, ограниченные и периодические решения, распространение теоремы Лиувилля для нелинейных и квазилинейных
уравнений на плоскости изучены в работах И.Н.Векуа, Л.Г.Михайлова, В.С.Виноградова, Э.Мухамадиева, В.Тучке, Л.Вольферсдорфа,
А.И.Янушаускаса и др. (см., например, [13, 17, 20 - 27, 29 - 34, 36, 44 -48]). Для квазилинейных систем вида
- =Р(г,) + /(2,), где функции Р и / удовлетворяют условиям, аналогичным выше перечисленным, в ряде работ С.Байзаева (см. [2 - 7]) изучены задачи о периодических и ограниченных решениях, а также распространение принципа максимума модуля и теоремы Лиувилля на решения таких систем.
Цель работы. Для квазилинейного уравнения (1) и системы (2):
- исследовать задачи о двояко-периодических и ограниченных на всей плоскости решениях;
- найти условия на главные члены правой части, при которых существует двояко-периодическое (ограниченное на всей плоскости) решение.
Общие методы исследования. В диссертации применяются методы теории функций комплексного переменного, теории обобщенных аналитических функций и теории вращения вполне непрерывных векторных полей в банаховом пространстве.
Научная новизна. Основные результаты диссертации.
1. Для уравнения (1) в терминах функции Р получены условия существования двояко-периодических (ограниченных на всей плоскости) решений.
2. Для системы (2) в терминах функций Р и О найдены условия существования двояко-периодических (ограниченных на всей плоскости) решений.
3. Найдены признаки наличия равномерных априорных оценок вместе с производными для ограниченных на всей плоскости, а также двояко-периодических решений уравнения (1).
Рассмотрим случай т > 1. В пространстве С2п рассмотрим следующее семейство вполне непрерывных полей
Фя - ф) - (0) - ц[{ТР){г) - (7Р)(0)] + Р°, 0 < // < 1.
При // Ф 0 особая точка и'(г) поля Ф;/ является двояко-периодическим решением уравнения
Д = //Р(г,,7). (3.16)
Рассмотрим функцию

й){г) ~ цтЛм>(£),
здесь нужно учесть, что т > 1, Покажем, что это функция удовлетворяет уравнению (3.10). Действительно, имеем
— д. 1+ДД(У=/итА Дщ=цтЛ/иР(г, щ,щ-) = /и тАР(г, ш, м-)
■ (ЗЛ7)
= /лтАР(г,/л тА(й,ц тЛОк)
В силу положительной однородности функции Р по переменным Ю, О) имеем
Р(г,/и тАоо,ц тАщ)-ц тАР{г,м>,м>1).
Отсюда и из (3.17) получим
Д© = Р(г,со,о)^).
Так как уравнение (3.10) в пространстве С2л. имеет только нулевое решение, то
со (г) = 0 т.е. м/(г) = 0.
Итак, поле Ф/( при // Ф 0 имеет только нулевую особую точку. Следовательно, это поле невырождено на А,, при г > 0.
При /.I = 0 векторное поле Ф;, имеет вид
Ф0 = тДД-мДО + Р0 (3.18)