Аппроксимация дифференциальных включений

• Автор: Скоморохов, Виктор Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Тамбов
• Количество страниц: 112 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. АППРОКСИМАЦИЯ С ВНЕШНИМИ

ВОЗМУЩЕНИЯМИ

§ 1.0. Основные определения и вспомогательные утверждения 26 § 1.1. Аппроксимация дифференциального включения

с внешними возмущениями

§ 1.2. Аппроксимация периодических и многоточечных

краевых задач с внешними возмущениями

Глава 2. УСТОЙЧИВОСТЬ В АППРОКСИМАЦИИ

С ВНЕШНИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
§ 2.1. Принцип плотности и устойчивость в аппроксимации
дифференциальных включений с внешних возмущений 51 § 2.2. Устойчивости в аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач с внешними
возмущениями
Глава 3. АППРОКСИМАЦИЯ С ВНУТРЕННИМИ
И ВНЕШНИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
§ 3.0. Основные определения и вспомогательные утверждения 61 §3.1. Аппроксимация дифференциального включения
с внутренними и внешними возмущениями
§3.2. Аппроксимация периодических и многоточечных краевых задач с внутренними и внешними
возмущениями
§ 3.3. Аппроксимация вложением и с положительной
оценкой снизу радиуса внутренних возмущений

§ 3.4. Аппроксимация вложением и с положительной оценкой снизу радиуса внутренних возмущений периодических и многоточечных краевых задач
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ В АППРОКСИМАЦИИ С ВНУТРЕННИМИ И ВНЕШНИМИ
ВОЗМУЩЕНИЯМИ
§ 4.1. Принцип плотности и устойчивость в аппроксимации дифференциальных включений относительно
внутренних и внешних возмущений
§ 4.2. Устойчивость в аппроксимации дифференциального включения по крайним точкам аппроксимирующего
отображения
§ 4.3. Устойчивость в аппроксимации возмущенных
периодических и многоточечных краевых задач
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Ж" - пространство п-мерньтх вектор-столбцов с евклидовой нормой | ■ I и порожденной ею метрикой р( •, •); р(х, у) = х — у.
comp [Ж"] - совокупность всех непустых компактных подмножеств из пространства Ж";
V - замыкание множества V;
со V - выпуклая оболочка множества V, со V = со V
ext V - множество всех крайних точек множества V, ext V = ext V
Множество
В[и,г] = {х € Мп : р(и,х) ^ г}
называется замкнутым шаром пространства Ж" с центром в точке и и радиусом г > 0; В[и, 0] = {и}.
Если V С Жп и е > 0, то множество
называется замкнутой е-окрестностью множества V; Vе = V. Обозначим через
IIЛI = нцрМ

- норму множества F в пространстве Ж".
p[x,F] = inf р{х,у)
- расстояние между точкой х и множеством F.
h+[FuF2=SUp{p[y,F2]:yeF1}

Так как отображение В[ ■, ip(t, ■, (5)] непрерывно в точке х, то существует последовательность у; G B[xi,ip(t,Xi,S), г — 1,2,..., что у, —> у в К" при г —+ оо. Поэтому, из равенства (1.0.14), получаем оценку
)(t,x,5) < /i[F(*,x),F(i,x.-)] + /i[F(£,yf),F(i,y)] + ip(^)(t,x{,S).
Переходя в последнем неравенстве к пределу при i —> оо и учитывая равенство (1.0.13), получаем ^ lim (р(ф)(Ь, ащ 5). Таким об-
г—» оо
разом, функция , •, 5) непрерывна.
c) Пусть U £ comp[Rn], Так как ф( •,*,•) £ /Т([а, 6] хК" х [0, оо)), то для фиксированного S € [0, оо) найдется такое число (3(U,6) ^ 0, что при почти всех t € [а, 6] и всех х £ U и т € [0, (5] выполняется неравенство ф(1,х,т) ф /3(U,6). Это означает, что при почти всех t £ [а, Ь], всех х £ £ U и т £ [0, 4] и справедливо включение В[х,фф,,х,т) С U^u'S Так как отображение F : [а, Ь] х Ж” —> сотр[Ж"] удовлетворяет условиям Каратеодори, то для числа 4 £ [0, оо) и множества JJ^U'S> найдется такая суммируемая функция тп,ими,б) '■ [о, 6] —> [0, оо), что при почти всех t £ £ [а, Ь] и всех х £ и^и’^ выполняется оценка ||.F(i, х)|| ^ mu,p{u,s)(t)• Пусть т £ [0,4']. Согласно свойствам расстояния по Хаусдорфу получим
<р(ф)ф,,х,т) = sup h[F[t,x),F(t,y)]^ sup (||F(«,x)||+
yeBx,ip(t,x,T) у&В[х,ф(Ь,х,т)
+ ll^(Fy)ll) ^ SUP (mu,i3(u,6){t) + fnu,fi(u,s){t)) ^ 2mutp(u,6){t)-
Таким образом в качестве функции гпи,&{ •), из определения множества К([а, 6] xl" х [0, оо)), можно взять 2ти^ибф ■).
d) Так как ф(-,-,-) £ К({а,Ь} х!"х [0, оо)), то <р(ф){Ь,х, 0) = = 0 при почти всех t £ [а, 6] и каждого х £ R”. Покажем, что limf ipty){t, z, 5) = 0 при почти всех t £ [о, Ь] и каждого
х £ Жп. Пусть Zi £ Rn и Si > 0, г = 1,2,... последовательности удовлетворяющие условию 2* —+ X, Si —> 0 при г —> оо.