Анализ разрешимости краевых задач для уравнений смесей жидкостей

• Автор: Прокудин, Дмитрий Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Кемерово
• Количество страниц: 99 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. РАЗРЕШИМОСТЬ УРАВНЕНИЙ БАРОТРОПНЫХ ТЕЧЕНИЙ
СМЕСЕЙ ВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ
1.1 Постановка задачи и основной результат
1.2 Существование сильного обобщенного решения задачи Ае
1.3 Предельный переход
ГЛАВА 2. РАЗРЕШИМОСТЬ УРАВНЕНИЙ СМЕСЕЙ СЖИМАЕМЫХ
ТЕПЛОПРОВОДНЫХ ЖИДКОСТЕЙ
2.1 Постановка задачи и основной результат
2.2 Существование сильного обобщенного решения задачи Бе
2.3 Предельный переход
ЛИТЕРАТУРА

Введение
Общие положения и обзор известных результатов
Кроме классических уравнений гидродинамики при решении многих современных задач механики сплошных сред используются более сложные модели, точнее учитывающие неоднородный характер состава реальных жидкостей и газов. Одним из примеров таких моделей служит модель многокомпонентных смесей сжимаемых теплопроводных жидкостей и газов. При построении замкнутой системы уравнений, описывающих движение многокомпонентной смеси, занимающей объем О с Кп (ограниченный или неограниченный), используются (см. [1-5]) уравнения неразрывности (баланса массы)
+ <Иь(р®) = 0, (ж,*) € П х [0,Т], г = 1,
уравнения сохранения импульса
д{Рг1)) + (г) 0 -(0) = ур(г) + рГ?® +
дг (0.2) + 3®, (х,1) еПх[0,Т], І = 1
+ сИи(рги{'1)) = Р(г'} : - сИиР
61 (0.3)
+Гг-, (X, V) е О х [0, Г], г = 1
для составляющих смеси. Здесь х - радиус-вектор точки пространства Мп, [0, Т] - промежуток времени, в течение которого происходит движение, Рг = Рг(-г', ) - ПЛОТНОСТЬ, - вектор скорости, С/г
С/г(ж,/) - удельная внутренняя энергия г-ой составляющей смеси, Р

рО)(ж,£) - тензор напряжений г-ой компоненты смеси, ~7*0) = "(ж,£)-вектор массовых сил, 40 = £) - вектор теплового потока г-ой
компоненты смеси, ~г) = ж, £) - интенсивность обмена импульсом
между составляющими смеси = 0 , Гг = Г*(ж, £) - интенсивность
обмена энергией между составляющими смеси ХХг + нХг)) = 0
При изучении движения определенной сплошной среды уравнения (0.1)-(0.3) конкретизируются заданием вектора массовых сил / ® для г-ой компоненты смеси и определяющих термодинамических и реологических соотношений, замыкающих систему уравнений (ОЛ)-(О.З).
Актуальность математических исследований уравнений механики сплошных сред и, в частности, моделей смесей вязких жидкостей и газов обусловлена многочисленными приложениями и стимулируется потребностями развития индустриальных технологий. Исследования корректности задач, относящихся к проблемам движения смесей вязких жидкостей и газов способствуют разработке вычислительных методов для их решения, значение чего в последнее время чрезвычайно возросло.
В настоящей работе рассматриваются задачи, относящиеся к проблемам движения двухкомпонентных смесей. Обобщение результатов для случая смесей из трех и более компонент принципиальных трудностей не вызывает.
Одним из вариантов реологических соотношений в миогоскоростной модели смеси являются равенства [2]
р(0 = ~р{1 + <т(*), г = 1,2,
2 (0.4)
<7« = £ (2/д,Р(б)) + ijdiv 1№1) , г = 1,2, з
где р1 - давление г-ой составляющей смеси, сгО) - вязкая часть тензора напряжений г-ой компоненты смеси, £> - тензор скоростей деформаций (в(ь$) = | (ж + I ж) ))> ' единичный тензор, коэффициенты вязкости ц и в общем случае могут зависеть от термодинамических

где постоянная С не зависит от параметра е. Из этого неравенства и из уравнений (1.6) получаем, что при е 4 О
е'Чр 4 0 сильно в ТДП), 1 < q < г = 1, 2. (1.55)

Действительно, из оценки (1.54) следует, что для любого 5 > 0 (при 7 > 2)
\£№Р11{рег>й}\Ъ(П) 7> * = 1)2: (1.56)
где 7/г - характеристическая функция множества К. С другой стороны, умножая уравнения (1.6) на (р| — 6)1 и интегрируя результат по области $7 получим, что
ЫЧ/$1{А<1}\Ъ(а) <с е2г), (1.57)
Таким образом, из неравенств (1.56)-(1.57) с 6 = с", а € + :+) получаем, что
еЧр -4 0 сильно в Т2(П) при е -4 0, г = 1, 2, (1.58)
откуда в силу оценки (1.10) и следуют соотношения (1.55).
Переходя к пределу по выбранным подпоследовательностям в уравнениях (1.6)-(1.7) при е -4 0 получим, что предельные функции
Рг 6 £27(П), Рг > 0, / Ргйх — М;, € Иф1,2(П), 7=1,2 При 7 >

удовлетворяют в слабом смысле следующей системе уравнений:
сйн(рг-"г) = 0 в П, г — 1, 2, (1.59)

5] + (Иу{р) ® + ур. = (0 + (*) в = 15 2, (1.60)

(р)7 4 Рг слабо в Т/2(П) при е 4 0, 7 = 1,2. (1-61)
Таким образом, чтобы завершить доказательство теоремы 1, следует
показать, что имеют место равенства
Й = р7>* = 1>2 (I-62)