ВМО-регулярность в решётках измеримых функций и интерполяция классов Харди

• Автор: Руцкий, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 181 с.

Оглавление
Введение
Интерполяция аналитических пространств
ВМО-регулярность в решётках на пространствах однородного

Интерполяция пространств, порождённых
квазирегулярным проектором
Теорема о короне и аналитическое разложение единицы
Сводка основных результатов
Общая характеристика работы
Содержание работы
1 Общие сведения
1.1 Решётки измеримых функций
1.1.1 Основные определения и свойства
1.1.2 Алгебра решёток измеримых функций
1.1.3 Решётки со смешанной нормой
1.2 Объекты гармонического анализа
1.2.1 Пространства однородного типа и максимальные операторы
1.2.2 Веса Макенхаупта
1.2.3 Ар-ограниченные отображения
и операторы Кальдерона-Зигмунда
1.2.4 А2-невырожденные отображения
1.3 Разное
1.3.1 “Шары” класса Ар
1.3.2 Теорема Гротендика и теорема о неподвижной точке
1.3.3 Пространства типа Харди и АК-устойчивость

Оглавление

2 Задача о короне
2.1 Векторнозначная задача о короне
2.2 Приложение: аналитическое разложение единицы
2.3 Связь между Ха и Ноо задачами о короне
2.4 Н2 задача о короне
3 ВМО-регулярность
3.1 Основные свойства ВМО-регулярности
3.2 Множества Ар-мажорант
3.3 Основной результат о делимости
3.4 Самодвойственность и делимость ВМО-регулярности
3.5 Известный вспомогательный результат
3.6 ВМО-регулярность и ограниченность
стандариых операторов гармонического анализа
3.7 ВМО-регулярность решёток X (Iя)
3.8 ВМО-регулярность для пар решёток
4 Интерполяция пространств X®
4.1 Весовое разложение Кальдерона-Зигмунда и метод Бургейна
4.2 Интерполяция
5 Интерполяция пространств типа Харди
5.1 Ограниченная АК-устойчивость
5.2 Связь с ВМО-регулярностью
5.3 АК-устойчивость в случае весовых классов Харди
5.4 АК-устойчивость с дополнительной переменной
5.5 Весовая и векторная АК-устойчивость
5.6 АК-устойчивость решёток, обладающих некоторыми свойствами суммирования
5.7 АК-устойчивость решёток Ьр(.)
Список литературы

Введение
Интерполяция аналитических пространств
Пусть X и У — квазибанаховы решётки измеримых функций на окружности Т с мерой Лебега (все основные используемые понятия будут формально введены далее в главе 1). В них естественным образом вводятся аналитические подпространства Ха и Уд, Хл = X П N и Уд = У ГШ+, состоящие из сужений на границу аналитических функций из класса Смирнова, которые лежат также в X и У соответственно. Например, аналитические подпространства для классов Лебега Ьр — это просто классы Харди (Ьр)л = Нр. Как устроены интерполяционные пространства между Ха и Уд? Разумеется, для всякого интерполяционного функтора Т в категории банаховых пространств верно соотношение
мы будем называть “правильной”, или “хорошей” интерполяцией для пары (ХА, Уд) по понятным причинам; это явление ещё называется устойчивостью интерполяг^ии Т для пары пространств (Хд,Уд). Для пространств Лебега Ьр (вещественная и комплексная интерполяция которых, как хорошо известно, в рассматриваемых далее случаях снова даёт пространства Лебега) эти соотношения для вещественной интерполяции (при естественном выборе показателя г) принимают вид
^((Ха,Уа))с(Х((Х,У)))а.
Обратное включение, т. е. равенство
^((Хд,Уд)) = (Д((Х,У)))д,
1-6» в

Введение

их ВМО-регуляриости, и проведём доказательство перехода от хорошей интерполяции степени 0 к ВМО-регулярности в общем случае, которое ранее в литературе присутствовало лишь в случае одной переменной, т. е. в случае классов Харди на измеримом пространстве Т.
В §5.4 мы приведём известные критерии ВМО-регулярности решётки X измеримых функций на измеримом пространстве (Т х Г2, т х ц) в терминах АК-устойчивости пары (X(Is), (1д°)) (где {д° — пространство
последовательностей 100 с весом j >-> AJ), когда решётка X обладает свойством Фату и некоторыми другими свойствами. Мы распространим этот критерий на случай произвольного (а не только дискретного) измеримого пространства Q, исправив одну деталь в доказательстве из работы [50], а также приведём непосредственное доказательство этого критерия для случая s = оо, предоставленное С. В. Кисляковым.
В §5.5 мы несколько обобщим результат из предыдущего раздела §5.4 при помощи некоторых конструкций, которые выявляют определённую связь между весовой и векторнозиачной АК-устойчивостью. А именно, мы покажем, что из АК-устойчивости решётки X (Iд°) (т. е. АК-устойчивости пары (X (I£°), Loo)) следует, что решётка X{w) также АК-устойчива с надлежащими оценками для любого веса ад, такого, что log ад 6 ВМО. Это значит, что при этих условиях решётка XF также будет АК-устойчивой для любой ВМО-регулярной решётки F. В качестве следствия основного результата этого раздела мы получим, что при некоторых услопиях на решётки X и Y из того, что пара (Хд,Уд) является ретрактом пары (X, Y), следует, что пара (X, Y) ВМО-регулярна.
В §5.6 мы рассмотрим свойство АК-устойчивости для решёток, обладающих следующим свойством суммирования: если
(число А > 1 фиксировано). Мы покажем, что если решётка X АК-устойчива и обладает этим свойством суммирования, то при некоторых дополнительных ограничениях из этого следует, что решётка ХР также АК-устойчива для любой ВМО-регулярной решётки Р, т. е. для таких решёток АК-устойчивость выдерживает умножение на ВМО-регулярные решётки. Это свойство (т. е. сохранение АК-устойчивости при умножении на ВМО-регулярные решётки) интересно, в