Теоремы продолжения для пространств функций, определяемых локальными приближениями

• Автор: Шварцман, Павел Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 140 c. : ил

В работе рассматриваются задачи, связанные с продолжением функций многих переменных с сохранением дифференциально-разностных свойств. Вопросы такого характера постоянно возникают как при изучении пространств дифференцируемых функций, заданных в областях достаточно общего вида, так и при описании следов функций из таких пространств на подмножествах
г* к
Впервые подобный результат для пространства О был в 1934 г. получен в классической работе Х.Уитни [63] . В
последовавших за ней работах М.Хестенса, С.М.Никольского,
А.Кальдерона, И.Стейна, 0.В.Бесова, В.П.Ильина, В.И.Буренкова и ряда других авторов этот врпрос изучался для пространств функций обобщенной гладкости, заданных в областях с локаль-но-липшицевой границей, и для их анизотропных аналогов.
В настоящей работе предлагается подход к задаче продолжения, основанный на теории локально-полиномиальной аппроксимации (см. Ю.А.Брудный [12] ). Возникающая при этом ключевая проблема состоит в построении метода продолжения с сохранением локально-аппроксимационных свойств функций. Поскольку в терминах локальной аппроксимации описывается большое количество важных в анализе пространств (ВМО, пространство Морри, л/р И В ре в изотропном и анизотропном случае и ряд других (см. [12] )), то решение упомянутой выше проблемы позволяет единым образом получить теоремы продолжения для этих пространств.

Достоинством предлагаемого подхода является также возможность доказательства теорем подобного типа в существенно более широких классах областей и в более широком диапазоне изменения параметров, определяющих пространства (так, теоремы продолжения для пространства В ре доказаны при О < |б,04 00 » а не при 4 4 р,в4°° > пап в предшествующих работах).
Другой важной областью применения предложенного метода продолжения является описание пространств следов на широком классе замкнутых подмножеств [Rn (т.н. регулярных множеств). В случае равномерной метрики метод продолжения может быть развит таким образом, что становится возможным описание пространства следов функций из класса Элгмунда на произвольное компактное подмножество IR*1 ; см. [42] - [44].
Перейдем к подробному обзору содержания диссертации.
В первой главе доказаны теоремы о продолжении функций с сохранением локально-аппроксимационных свойств. Для их формулировки используем следующие определения и обозначения.
Пусть функция UL£(F) , о «к» , где F некоторое измеримое подмножество 1RK . и Set (F) обозначает класс измеримых подмножеств JT .Локальным наилучшим приближением порядка к (см. [12] , с.71) назовем отображение E^‘L^(F) х »Set(FhR+- определяемое формулой
yenj И'Р||цса)
1 Jk-i
(лЪ
Здесь обозначает пространство многочленов IX переменных степени 4 к
Определим еще нормированное локальное приближение •)<, * полагая
МЛ ■! ,АГ‘/,ЕП?:Ч ■'А|>0
0 , I А ~ 0 , где IЛI = (01 & 5 А
Условимся, что все рассматриваемые в дальнейшем 1^ - мерные кубы имеют ребра, параллельные координатным осям. Для заданного куба 0. через зс(0) будем обозначать его центр, а через - "радиус", то есть половину длины ребра; запись 0.= (Н^Л-) означает, что *х = ^с(0.) и .
Кроме того, для числа ^^0 через обозначается куб
0., %х)
Определе ние I (1.1.7)*^ Измеримое множество ? С назовем регулярным, если существуют постоянные ,0>0 такие, что для любого 0,= 0(Д2Д)с хб Р и будет
іапрі > е іа
Числа 0| , 0 назовем параметрами регулярности и обозначим и 0 р .
Семейство регулярных множеств обозначаем через Если принадлежность ^ к 1_^(Р)ясна из контекста, то для куба а вместо Е^¥;0^£и £к(|; 0ПР) будем писать Е^Д-Д и •
Теорема І (І.2Д). ЕслиР^^Яг^ и 0<с^оо > то Су_
ществует оператор продолжения ТіЦ^ЧР^ІГІЖ"), ли- Чг т

' В скобках указан номер соответствующего утверждения в тексте диссертации. Номер А/.М означает утверждение (теорему, определение, предложение и т.д.) 3 параграфа ь главы А
Из 1.3.7, в частности, следует, что в неравенстве теоремы 1.3.3 второе слагаемое справа в случае ограниченного Р можно опустить. Тем самым все утверждения теоремы 1.3.3 полностью доказаны.
1.3.8. Замечание. Как отмечалось в доказательстве 1.3.7, вне фиксированного кубаФ^Е1 с зе(£)£Р
и чЛО) « с11ат Е1 совпадает с многочленомР0е . Это позполяет несколько усилить утверждение (б) теоремы 1.2.1; именно, для любого куба 0-=0(гс,*с) с Ъ 4 оРсип Р будет
^ суц.
где напомним, ОЛ1*' есть куб минимального объема, содержащий 0. и имеющий центр в Г и ■= ч (0"'ик)
же 'О снесет. Р , то, как показывают оценки (22) и (23),
1.3.9. Пример. Возникает естественный вопрос о возможности улучшения оценки в 1.3.3. В частности, не будет ли справедлива неулучшаемая по порядку оценка
чЯ'.Ч11еД‘? <2«
Как будет показано в 1.5.1, такое усиление возможно для достаточно хороших Р . Однако, в общей ситуации такое усиление не имеет места, что подтверждается приводимым здесь примером. Прежде, чем его привести, отметим, что из гипотетического неравенства (24) следует, что
40(1^4
если функция —* [Р+ монотонно возрастает и Ц’ССД