Стохастическая динамика порождаемая линейными и нелинейными эволюционными уравнениями

• Автор: Неклюдов, Михаил Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с. : ил.

1 Дифференцирование мер вдоль векторных полей не принадлежащих пространству Камерона-Мартина и дифференцирование мер на группах Ли
1.1 Дифференцирование мер вдоль векторных полей не принадлежащих пространству Камерона-Мартина

1.2 Дифференцируемость меры Випера Eia функциях

со значениями в компактной группе Ли

2 Аналог лагранжевого описания для уравнения Навье-Стокса и интегрирование вдоль случайных контуров

2.1 Некоторые определения и предварительные сведения

2.2 Эквивалентность уравнения Навье-Стокса и стохастической системы уравнений в частных производных
2.3 Эквивалентность параболических уравнений 2-ого порядка и стохастических уравнений в частных производных первого порядка

2.4 Теорема о сохранении циркуляции поля скорости

для уравнения Навье-Стокса

2.5 Интегрирование вдоль случайных контуров и задача Коши для параболических уравнений
2.6 Аналитическое продолжение уравнения Навье-Стокса и уравнение Эйлера
3 Циркуляция и уравнения гидродинамики

3.1 Циркуляция решения уравнения Навье-Стокса и бесконечномерное уравнение типа Бюргерса
3-2 Гармонические функции для оператора ЛапласаЛеви и уравнение Стокса
4 Представление решения некоторых псевдодиффе-ренциальных уравнений Шрёдингера гамильтоновыми интегралами Фейнмана
4.1 Обозначения и терминология
4.2 Определение интеграла Фейнмана
4.3 Задача Коши для уравнения Шредингера в фазовом пространстве

В диссертации рассматриваются задачи бесконечномерного анализа, связанные с исследованием линейных и нелинейных эволюционных уравнений. В ней получено представление решения задачи Коши для бесконечномерного уравнения Шредингера в фазовом пространстве с помощью интеграла Фейнмана по траекториям, описывается новый класс векторных полей, вдоль которых дифференцируема мера Винера па траекториях в евклидовом пространстве и развивается подход к исследованию системы уравнений Навье-Стокса, аналогичный лагранжеву подходу и исследованию гидродинамических уравнений Эйлера; при этом система уравнений Навье-Стокса заменяется некоторой (эквивалентной ей) системой стохастических дифференциальных уравнений. Следует отметить, что эта система стохастических дифференциальных уравнений эквивалентна детер-мипированной системе уравнений Навье-Стокса, так что этот подход принципиально отличается от подхода, основывающегося на введении в уравнение Навье-Стокса члена содержащего белый шум.
Перечисленные задачи относятся к одному из важнейших направлений бесконечномерного анализа, на протяжении более 20 лет находящемуся в центре внимания специалистов - анализу в пространстве функций на бесконечномерном пространстве с мерой. Этой области бесконечномерного анализа посвящена обширная и постоянно растущая литература; отметим в частности, монографии [29], [19], [33], [28], [15] 1 и многочисленные журнальные статьи как этих, так и многих других авторов, в том числе Трумена, Альбеверио, Аккарди, Воловича, Хренникова, Леандра, Висмута, Бжезняка и многих других. Таким образом, тему диссертации следует считать вполне актуальной.
Преобразованием меры Винера на траекториях в евклидовом пространстве, соответствующим рассмотренному классу векторных нолей, является вращение траектории винеровского процесса зависящее от времени. Это преобразование интересно в связи с тем, что оно возникает при рассмотрении формулл интегрирования по частям для мер Винера на траекториях со
1В зарубежной литературе применительно к этой области бесконечномерного анализа используется название ’’Исчисление Маллявэна” и ’’White noise analysis”.
тогда Уе(а:) = и(£, я: -+- Z2wt)- является решением системы
Уь{х) = /(<,£ + /2+ л/2/Ж((х) ■ (киь,
У0(х) = (р(х).
Обратное тоже верно т.е. если У^(х)-решение стохастической системы написанной выше, то и(Ь,х) = У[(х — Z2wt) - решение соответствующего уравнения в частных производных (2).
Этот пример показывает что некоторые стохастические уравнения в частных производных первого порядка соответствуют некорректным задачам и поэтому возникают проблемы с доказательством теорем существования и единственности.
2.4 Теорема о сохранении циркуляции поля скорости для уравнения Навье-Стокса.
В этом разделе мы установим для уравнения Навье-Стокса аналог классической теоремы о сохранении циркуляции поля скорости, являющегося решением уравнения Эйлера и докажем, что обратная задача Коши для уравнения Навье-Стокса имеет только тривиальные решения в соответствующем классе функций (Следствие (4) теоремы (7)).
Пусть
Б[а,Ь] = {и6 С°°([а,6] хЕ"Д" )|и-ограничена вместе с производными},
и € В(—со,Т]- решение обратной задачи Коши для уравнения Навье-Стокса:
дщ дщ др ~ .
~аГ + 2- = иАщ “ + Ш'х) * =
1=1 ■>
Л’и(й)
57(7", х) = йо(х),х € К" , I/ > 0.
Сделаем замену переменных и(1,х) = 57(7’ — <,1),м0 =
570,р(1,х) = -р(7'—<, ж),/(Кх) = -/(Т—1,х) тогдаи,р 6 />[0, оо)