Проблема окаймления для дифференциальных базисов и смежные вопросы

• Автор: Новиков, Алексей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 84 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Различение симметричных пространств дифференциальными базисами
1.0. Основные определения и теоремы
1.1. Различение пространств Лоренца и Орлича с одной фундаментальной функцией
1.2. Различение пространства А(ср) и набора пространств Лоренца
1.3. Проблема окаймления для дифференциальных базисов
ГЛАВА 2. О классификации симметричных пространств
2.1. Конструкция идеального пространства типа Лоренца
2.2. Классификация и реконструкция симметричных пространств
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В диссертации изучается ряд задач теории дифференцирования интегралов и некоторые вопросы теории симметричных пространств измеримых функций.
Истоком теории дифференцированя интегралов является хорошо известная теорема Лебега 1910 г. о том, что для произвольной последовательности стягивающихся шаров 5(7, г&) и почти всех точек из области определения локально интегрируемой функции ж (7) справедливо равенство
Тот факт, что рассматривается предел средних значений по евклидовым шарам, а не по стягивающимся к точке Ь множествам какого-нибудь другого вида, на первый взгляд может показаться несущественным. Однако в 1927 году было показано, что с точки зрения дифференцирования, прямоугольники из К2, со сторонами параллельными осям координат, ведут себя намного хуже, чем круги на плоскости. В результате возникла такая проблема: останется ли справедливой теорема Лебега если в ней евклидовы шары заменить на множества другой природы? Несмотря на то, что прошло почти столетие после появления работы Лебега, в теории дифференцирования интегралов остается много нерешенных проблем.

Это связано с тем, что в этой теории тесно переплетаются трудные вопросы геометрии множеств, на которые заменяют шары в теореме Лебега, геометрии функциональных пространств, из которых берутся функции, стоящие под знаком интеграла, вопросы теории максимальных операторов и т.д.
В настоящее время для теории дифференцирования интегралов основными задачами является следующие.
1. Пусть В - некоторый дифференциальный базис. Требуется определить его свойства, т.е. найти пространства (семейства пространств) функций, интегралы от которых данный базис дифференцирует, а которые нет.
2. Пусть X, У - два различных в каком либо смысле пространства (семейства пространств) локально интегрируемых функций. Можно ли эти два пространства различить с помощью дифференциальных базисов, т.е. существует ли дифференциальный базис, который дифференцирует все интегралы от функций из X, но найдется хотя бы одна функция из У, интеграл от которой данный базис не дифференцирует.
В работе рассматривается круг вопросов, связанных со второй из вышеуказанных задач.
Цель работы. Построение специальных дифференциальных базисов, позволяющих различать симметричные пространства и их наборы. Исследование свойств дифференциальных базисов с помощью максимальных операторов в специальных случаях. Изучение внутренней структуры симметричных пространств.
Из леммы 4 следует, что для почти всех точек Ь квадрата <5о найдется последовательность В^{1) Е В,Р такая, что 4 Е В^{£) при всех к и ЛатВк{Ь) —> 0 при к —> ос.
Покажем, что дифференциальный базис Еф дифференцирует пространство Лоренца Л(у?). Пусть / Е Л(<ф, / > 0 почти всюду. Зафиксируем а>0и положим
■СК/’«) = {г : МВ(р/(т) > а}, Р,-(/,а) = {т : Мщ^тц)/{т) > а}.
Тогда справедливо равенство
Р(/,а)=и“1Д(/,а). (40)
Из условия (38) следует, что для 3 < I для любых двух элементов их Е ищ,ц,т{з), и2 Е ипи1ит^) справедливо одно из двух соотношений; либо С/1ПП2 = 112, либо П1ПП2 = 0. Поэтому если Сф С Dj(f,a), 112 С Д(/, ск) И ЬГ1 П [ф = Ь!2, ТО множество £ф можно исключить из /_),(/, а) и равенство (40) сохранится. Отсюда следует, что можно считать выполненными соотношения /?*(/, а) П Пф/, а-) = 0 (г ф _?'). Рассмотрим множество Dj(f,a) подробнее.
Согласно формуле (24) положим
Я,>(/,<*) = (г : Щ,1},ти^(ТМЯпз{8)) > а}.
Тогда из (24) следует, что множества -Сфф/, а) при разных в не пересекаются, Тфф/, а) С <Э„Дв) и
-Оф/, а) = и^-Сфф/, а).
Поэтому
£>(/,«) = и^1и"11^>(/, а),