Применения принципа площадей и структурных формул к конформным и гармоническим отображениям

• Автор: Григорьев, Виктор Вадимович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 115 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

§1. Исторический обзор и проблематика

ГЛАВА 1 . ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИНЦИПА ПЛОЩАДЕЙ К ОДНОЛИСТНЫМ ФУНКЦИЯМ

КЛАССОВ С И 5

§2. Точные коэффициентные неравенства для однолистных функций класса С Каратеодори

§3. Критерий однолистности функции класса Каратеодори.

§4. Оценки начальных коэффициентов в классе 5, зависящие от радиусов кругов покрытия элементов

ГЛАВА 2 . ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИНЦИПА

ПЛОЩАДЕЙ К ОДНОЛИСТНЫМ ФУНКЦИЯМ

КЛАССОВ С3, 5М И 5

§5. Новые серии точных коэффициентных неравенств в подклассах Сд[п] класса Сд
§6. Асимптотически точные оценки начальных
коэффициентов в подклассах класса 5м
§7. Применение принципа площадей к оценке

третьего коэффициента в классе 5[/о].
Точные оценки логарифмических коэффициентов в классе 5*
ГЛАВА 3. МЕТОД СТРУКТУРНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ ЛОКАЛЬНО ОДНОЛИСТНЫХ
ГАРМОНИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
§8. Вывод структурной формулы
для локально однолистных гармонических отображений
§9. Оценки коэффициентов, теорема покрытия и константы квазиконформности
в классах ЗД
§10. Исследование классов гармонических отображений, ассоциированных с р-кратно
симметричными однолистными функциями
§11.Гармонические отображения, ассоциированные с конформными
отображениями из классов 5^
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
§ 1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР И ПРОБЛЕМАТИКА
1. Полуторовековая история геометрической теории функций комплексного переменного берет начало в трудах великого немецкого математика Б. Римана. В 1851 г. он защитил докторскую диссертацию на тему ’’Основы общей теории функций одной комплексной переменной” , а три года спустя прочитал свою знаменитую лекцию ” О гипотезах, лежащих в основании геометрии”. В них были введены фундаментальные математические понятия ’’многократно протяженной величины” (риманова пространства, дифференцируемого многообразия), многолистной римановой поверхности, конформного отображения, аналитического продолжения и другие. Идеи Римана пролили свет на истинную природу понятия многозначной функции. Были введены понятия однолистной и многолистной функции и важный ’’принцип Дирихле”, положенный в основу доказательства знаменитой теоремы Римана о конформных отображениях. Данная К. Вейер-штрассом критика принципа Дирихле низвела доказательство Римана на уровень эвристических суждений, и только сорок лет спустя почти одновременно появились три строгих доказательства теоремы о существовании и единственности однолистного конформного отображения односвязной области с границей, содержащей более одной точки, на круг. Их авторами были Д. Гильберт, А. Пуанкаре и П. Кебе. Столь долгий период поиска строгого обоснования принципа Дирихле отмечен важными вехами становления и развития геометрической теории

Это позволяет записать неравенство (1.36) для <р(С) и Р(со) в виде
N N ЛГ
q= 1 р— 1 р=1 “
которое, согласно [18] (см. также [34]), равносильно неравенству Грун-ского
N N ^
| ^ ] ШрдХрХд ^ У"] ~ 1ХР1 ' (1‘37)
Р>9=1 Р=
Известный критерий Грунского [18], [34] гарантирует однолистность р в Д*, если неравенства (1.37) истинны для ее коэффициентов Грунского шрд при любых значениях комплексных параметров х,х2,
N = 1..оо. Из доказанной таким образом однолистности в Д* функции (р следует ее принадлежность классу Е^2), образуемому нечетными элементами известного класса Е.
Наконец, ассоциированная с р ветвь функции
р(г) := (1 + 2р1р~2(г~1/2)^ ' , (1.38)
нормированная условием р(0) = 1, принадлежит классу С^. Действительно, из (1.38) следует, что если р{г) = р(г2) для двух точек , г2 £ Д, то р2{г1) = р2{г2), поэтому (р2(2д) - 1)/2р! = (р2(д>) - 1)/2рх. Стало быть, р2{г^1^2) = р2(г21^2) и, значит, р{Р^Х^) = (р(-г^'1^2) либо р{г^Х^2) — — р[г2Х^2). В первом случае в силу однолистности функции р аргументы совпадают, так, что = г2. Во втором
случае, используя нечетность и однолистность функции р, находим
-1/2 -1/
' = —г2 , что снова дает — г2.
Теорема 1.5 доказана.