Оценки линейных функционалов для ограниченных однолистных функций, близких к тождественной

• Автор: Григорьева, Елена Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 103 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

ГЛАВА I. ЛОКАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ

§1. Общие сведения о параметрическом представлении классов однолистных функций и формализация экстремальной задачи

§2. Качественные свойства оптимальных управлений

§3. Необходимое условие экстремальности функций

§4. Ограниченность частных производных семейства управлений, удовлетворяющих принципу максимума

§5. Теорема существования и дифференцируемости

обратного отображения

§6. Достаточное условие экстремальности функций Пика

^ ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
§7. Двупараметрическое семейство линейных функционалов, локально максимизируемых функциями Пика
§8. Оценки матричных норм
§9. Конструктивные характеристики достаточных условий экстремальности
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Геометрическая теория, функций комплексного переменного изучает свойства конформных отображений, главным образом, геометрическими средствами. Знаменитая теорема Римана о конформном соответствии двух произвольных односвязных гиперболических областей не дает конструктивных способов построения однолистной функции, осуществляющей взаимно однозначное отображение. Поэтому в начале XX века стали создаваться разнообразные методы решения экстремальных задач в классах однолистных функций, аналитических в канонических областях, например, в единичном круге Б = {г : х < 1}.
Свойство однолистности инвариантно относительно композиции функций. В частности, произвольную однолистную функцию можно подвергнуть линейному преобразованию и добиться нормировки, сохранив при этом ее существенные геометрические и аналитические качества. Таким образом, вполне естественно, что основным объектом исследования в теории однолистных функций стал следующий класс.
Определение 1. Класс всех аналитических и однолистных в Б функций /, нормированных разложением
(1) /(2) = 2 + а-г2? + • • • + “п2" + • • • > % € Б,
обозначается через 5.
Нетривиальный подкласс класса Б состоит из ограниченных функций.
Определение 2. Будем обозначать через Б(М) класс всех функций / 6 Б, удовлетворяющих в Б условию |/(я)| < М.
Экстремальные задачи в классе 5 и его подклассах заключаются в установлении оценок различных функционалов, среди которых доминируют однородные, то есть инвариантные относительно вращения /(г) —> ега/(е~'аг). Линейные функционалы также вызывали значительный интерес. Напомним общий вид линейного непрерывного функ-

ционала L в классе аналитических в единичном круге функций /,

ЦЛ = У^Апа„,

где параметры А0,...,АП удовлетворяют условиям, обеспечивающим сходимость записанного ряда. В силу нормировки (1) класса S параметры Л0 и Ai в общем представлении для него не существенны. Кроме того, будем исследовать линейные функционалы, задаваемые лишь конечными суммами, определяемыми конечным набором комплексных чисел А2,...,Ап, Ап ф 0. Поскольку при решении экстремальных задач умножение функционала L(f) на положительное число не влияет на поиск решения, то можно нормировать L(f), например, условием |An| = 1. Если воспользоваться инвариантностью класса S(M) относительно вращения, то можно положить An = 1. Поэтому будем рассматривать линейные непрерывные функционалы

(2) £(/) = $^А*аь An = 1,

и сосредоточимся на экстремальной задаче о поиске максимума SRI/,
(3) 5Щ/) —>■ max, / € S(M), 1 < М < оо,
который достигается в силу компактности класса S(M).
Задача (3) для функционала (2) содержит в частном случае при Л2 = • • • = An_i = 0 задачу об оценке SRan, равносильную оценке |а„|. Подобные задачи вызывали повышенный интерес в теории однолистных функций особенно в связи с гипотезой Бибербаха [32] о том, что в классе 5 справедливы оценки
|а„| < п, п > 2,
со знаком равенства только для вращений функции Кебе К,

(4) K{z)= (1^Т2 =J2nzn’ zeD’
' ' n=l

Доказательство. По условиям трансверсальности Ф*,(1одМ) = Л*, к = 2,..., п. Пользуясь неравенствами (1.19), находим, что
/»log М /
|ф*=(0) - Afc| < с'*, / е~г<И = 4 (
J 0
”°*(1 м) ’
<4-1 = 4, = 0. Поэтому
||(Фа(0),..., Ф„(0)) - (Фа(Ь8 М),..., Фп(log М))|| <
11(4,...,он
что заканчивает доказательство леммы 2.3.
Найдем выражение для функции Гамильтона (1.17) в начальный момент времени t = 0.
Лемма 2.4. Если

/Ф2(0)
Un(0).
то функция Гамильтона (1.17) в начальный момент времени t =
имеет вид

(1.20) Н( 0, a0, f, и) = -2 cos (k - 1)гі - £к sin (к - 1)«].

Доказательство. Векторная функция G(t,a,u) в правой части дифференциального уравнения (1.6) относительно вектора a(t) представлена как

G{t, а, и) = -2 ^2 e~a(i+i^As(t)a(t).