Обратная задача спектрального анализа для интегральных операторов

• Автор: Бутерин, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 106 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава
Обратная задача для одномерного возмущения оператора свертки первого порядка
1.1. Вспомогательные утверждения
1.2. Основное нелинейное интегральное уравнение
1.3. Решение обратной задачи 44 Глава
Обратная задача для одномерного возмущения оператора свертки высших порядков
2.1. Одномерное возмущение оператора свертки второго порядка
2.2. Одномерное возмущение оператора свертки порядка п > 2
2.3. Случай негладкого возмущения 74 Глава
Восстановление одномерного возмущения
3.1. Вспомогательные утверждения
3.2. Решение обратной задачи
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Обратные задачи спектрального анализа заключаются в определении операторов по некоторым их спектральным характеристикам. Подобные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют много приложений в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Интерес к этой тематике постоянно возрастает благодаря появлению все новых приложений, и в настоящее время теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.
Исследование обратных спектральных задач обычно связано с тремя основными этапами:
1) выяснение того, какие спектральные данные однозначно определяют оператор, и доказательство соответствующих теорем единственности;
2) конструктивное решение обратной задачи: разработка метода решения и построение алгоритма восстановления оператора по рассматриваемым спектральным данным;
3) нахождение характеристических свойств рассматриваемых спектральных данных, получение необходимых и достаточных условий разрешимости обратной задачи.
Наиболее полные результаты в теории обратных спектральных задач известны для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля
-у” + д{х)у. (1)
Обратные задачи для оператора (1) исследовались в работах В.А. Амбарцумяна, Г. Борга, М.Г. Гасымова, И.М. Гельфанда, М.Г. Крейна,
Н. Левинсона, Б.М. Левитана, В.А. Марченко, Ф.С. Рофе-Бекетова, А.Н. Тихонова, Л.Д. Фаддеева и других авторов (см. [1 - 17] и литературу в них).
Первый результат в этом направлении принадлежит В.А. Амбарцумяну [1]. Он показал, что, если собственные значения краевой задачи
-у" + д(х)у = Ху, у'( 0) = у'(л) =

суть = А;2, к > 0, то д = 0. Однако результат В.А. Амбарцумяна является исключением, и одного спектра, вообще говоря, недостаточно для однозначного определения оператора (1). Первое основательное исследование восстановления оператора (1) по спектральной информации было предпринято шведским математиком Г. Боргом [2]. Он доказал, что два спектра дифференциальных операторов Штурма-Диувилля с одним общим краевым условием однозначно определяют функцию д. Н. Левинсон [7] предложил иной метод доказательства результата Г. Борга. Он ввел новый тип спектральных данных, показав, что с точки зрения обратной задачи задание спектров двух краевых задач эквивалентно заданию одного спектра и значений собственных функций в конце интервала (собственные функции предполагаются нормированными в другом конце интервала). Будем называть эти значения коэффициентами Левинсона.
Важную роль в спектральной теории дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля сыграл оператор преобразования. К решению обратных задач оператор преобразования первым применил В.А. Марченко [10, 11], показав, что оператор (1), заданный на полуоси или конечном интервале, однозначно определяется заданием своей спектральной функции. Аппарат операторов преобразования применялся также И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном в их фундаментальной работе [4], где были получены необходимые и достаточные условия и метод восстановления дифференциального оператора Штурма-Лиувилля по спектральной функции.
Много приложений теории решения обратных задач связано с дифференциальными операторами высших порядков вида
У(п) + Е Рк(х)у{к п > 2. (2)

В сравнении с оператором Штурма-Лиувилля, обратные задачи для оператора (2) оказались значительно более трудными для исследования. В частности, метод оператора преобразования оказался неэффективным при исследовании этого класса обратных задач.
Более эффективным и универсальным методом в теории решения обратных спектральных задач является метод спектральных отображений (см. [18-22]), связанный с идеями метода контурного интеграла. Н. Левинсон [7] первым применил метод контурного интеграла

Следующая лемма непосредственно применяется также при доказательстве теоремы 1.2.1.
Лемма 1.2.6. Решение у(х) уравнения
у{х) = f(x) + 2 Г~~, а < х < Ь, (1.2.23)
JCL 0 — t
удовлетворяет условию (Ь— х)ву(х) G Ь2(а,Ь) тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий в зависимости от значения параметра в :
1) {b-x)ef(x) е Ь2{а,Ь), при бе(§,2];
2) [b-x)ef {x) 6 Ь2(а,Ъ), и
[Ь(Ь - x)f(x) dx = 0, (1.2.24)

при в е [0, |).
Доказательство. Начнем с достаточности. Подстановкой нетрудно проверить, что решение уравнения (1.2.23) имеет вид
у(х) = f(x) + I*(b - *)/(*)dt (1.2.25)
Пусть 9 G (|, 2]. Легко видеть, что
(6 - х)‘у(х) = (ь - xfm + /;
где /о(х) € Ь2(а,Ь), а = 2 — в < . Следовательно, согласно лемме
1.1.1 (Ь — х)ву(х) € Ь2(а, Ь). Пусть теперь в е [0, |). Тогда согласно
(1.2.24) формула (1.2.25) перепишется в виде
у(х) = f(x) - /> - dt,
откуда после домножения на (6 — х)в получаем
(6 - х?ф) = (Ь - x)‘f(x) - Г
Здесь также а < | и мы снова применяем лемму 1.1.1. Достаточность доказана, перейдем к необходимости. Согласно (1.2.23) имеем
(b-x)ef{x) < (b - х)ву(х) + 2 J* е Д2(а,Ь),