Обратная задача для дискретного периодического оператора Шрёдингера

• Автор: Куценко, Антон Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 81 с.

1 Введение
1.1 Предмет исследования
1.2 Обзор литературы
1.3 Основные результаты
2 Большие по норме потенциалы
2.1 Асимптотики
2.2 Локальный изоморфизм
2.3 Глобальный изоморфизм
2.4 Большие нечётные потенциалы
2.5 Перестановки, которые сохраняют спектр
2.6 Пример N
2.7 Доказательства вспомогательных утверждений
3 Малые по норме потенциалы
3.1 Асимптотики
3.2 Изоспектральное множество
3.3 Доказательства некоторых утверждений
4 Оценки
4.1 Краткое содержание
4.2 Отображение г(к, /г)
4.3 Зависимость между корнями полинома и его высотами
4.4 Оценки и асимптотики
4.5 Лакуны
4.6 Оценки спектральных данных
5 Общие результаты о конформных отображениях
5.1 Конформная эквивалентность континуумов
5.2 Гомеоморфизм пространства вложенных континуумов
6 Литература
1 Введение
1.1 Предмет исследования
Рассмотрим периодический оператор Шрёдингера (Ьду)п = уп^ + уп+1 + ЧпУп, п е
Ъ, у е 12{Ъ). Здесь потенциал {дп}'£=_00 есть вещественная N + 1 периодическая последовательность, дп+лч-1 — Яп, п € Ъ. Введём пространство потенциалов
ЛГ+1 АГ+1
Я = {9п}^+1 6 д = {д 6 Е^+1 : ^2 Яп = о}, ||д||2 = я1- (1.1)
1 П
Прямая задача для данного оператора Шрёдингера состоит в нахождении спектра оператора Ьч по заданному потенциалу д. Эта задача решена достаточно давно (см. [’М]). Что касается обратной задачи, то есть нахождения потенциалов по заданному спектру (или заданным спектральным данным), то, несмотря на большое количество работ по этой теме, полного решения до сих пор нет.
Вообще говоря, обратная задача состоит из следующих подзадач:
1) Единственность. Доказательство того, что спектральные данные однозначно определяют потенциал.
2) Описание множества спектральных данных или Характеризация.
3) Восстановление. Алгоритм, который находит потенциал по заданным спектральным данным.
4) Оценки. То есть оценки спектральных данных через потенциал.
В диссертации мы попытаемся дать ответы на некоторые вопросы обратной задачи в случае когда спектральные данные есть спектр а(Ьч) или изоспектральные параметры Л(д), которые однозначно определяются спектром и однозначно этот спектр определяют. В нашем случае к : 2 —* М'4 (см. (1.10) и (1.11)) это аналог отображения Марченко -Островского для оператора Хилла.
Мы будем изучать поведение изоспектральной функции к : (2 —+ Е‘у, поскольку обратная задача в нашем случае фактически сводится к изучению свойств отображения между потенциалами и спектральными данными. Например, описание областей локального и глобального изоморфизма функции к отвечает на вопрос обратной задачи, в каких случаях потенциал однозначно восстанавливается по спектру. Описание образа к(<2) отвечает на вопрос, какие спектры вообще возможны у операторов Ья. Наконец описание прообразов отображения к, отвечает на вопрос обратной задачи о том, какие потенциалы имеют одинаковый спектр и сколько таких потенциалов.
Работы [ККи1-3], [Ки] на которых базируется данная диссертация являются первыми работами, посвящёнными обратной задаче для дискретного периодического оператора Шрёдингера в такой общей формулировке (пункты 1)-4) выше). В частности, даны ответы на вопросы характеризации, и описания множества потенциалов с одинаковым спектром при больших и малых по норме потенциалах. Фактически, в этих работах впервые более менее полно изучена обратная задача в случае больших и малых по норме потенциалов.

Также отметим, что для получения оценок и изучения зависимости между различными спектральными данными исследуются специальные конформные отображения, что приводит к другому классу задач, не связанных напрямую с обратными задачами. Это оценки геометрических параметров конформных отображений; взаимнооднозначное соответствие между геометрическими параметрами многосвязных областей, между которыми установлено конформное отображение; оценки аналитической ёмкости. В диссертации найдены точные двусторонние оценки геометрических параметров конформных отображений, соответствующих оператору Шрёдингера (это даёт точные двусторонние оценки спектральных данных через потенциал) и обобщены результаты о взаимнооднозначном соответствии геометрических параметров на очень широкий класс многосвязных областей.
Далее кратко приведём сведения о других обратных задачах. Существует обширная литература по скалярному оператору Хилла, включая обратную задачу. В работах [GaTrl], [КК], [К1-3], [МО] авторы показали, что отображение: {potential} —► {spectral data} есть изоморфизм. В частности это даёт единственность и характеризацию.
Существует много работ посвящённых периодической матрице Якоби (см. обзор в [Те]). Но соответствующая обратная задача для этого оператора изучена только в [BGGK], [ККи1],[К4]. Заметим, что известная работа [vM] не затрагивает в полной мере вопросы характеризации спектральных данных для периодической матрицы Якоби. Несмотря на важность обобщения результатов, касающихся непрерывных операторов, на случай дискретного одномерного оператора Шрёдингера, до сих пор не было существенных продвижений (за исключением той информации которую можно получить из результатов, касающихся периодической матрицы Якоби). Заметим, что об обратной спектральной задаче для двумерного оператора Шрёдингера существует книга [GKT].
Анализ дискретного оператора Шрёдингера даёт новые интересные задачи: 1) построить отображение q —> S (спектральные данные) и решить соответствующую обратную задачу (т.е. найти такие спектральные данные S по которым однозначно восстановится потенциал, поскольку одного спектра, как показано в диссертации, недостаточно для восстановления потенциала), 2) изучить квазимомент (вещественная часть квазимомента есть "интегральная плотность состояний") как конформное отображение, 3) получить оценки потенциала в терминах спектральных данных, 4) восстановить потенциал по спектральным данным.
Основные результаты диссертации следующие:
Если в качестве спектральных данных взять спектр оператора Lq, то потенциал восстанавливается неоднозначно. Точнее, количество больших по норме потенциалов, имеющих одинаковый спектр, в основном будет (N + 1)1; количество малых по норме нечётных потенциалов, имеющих одинаковый спектр, в основном будет 2 *
Получены асимптотики спектральных данных при больших и малых по норме потенциалах, которые позволяют восстановить потенциалы с хорошей точностью.
Получены точные двусторонние оценки нормы спектральных данных через норму потенциала.
Обобщены результаты о конформных отображениях, которые использовались в изучении данного оператора Шрёдингера.

Доказательство. 1) Функция Д'(А, д) есть полином степени N по переменной А, все коэффициенты которого при степенях А есть полиномы, зависящие от д. Тем самым его корни АП,п = 1,Лг есть непрерывные функции зависящие от д. Эти корни простые (не кратные), отсюда нетрудно увидеть их вещественную аналитичность по переменной д в пространстве С£‘,ы. Значит функция Нп(д) = Д(Ап(д), д), д е 0.ш будет вещественноаналитической, поскольку А(Х,д) есть полином. Равенства А'(Хп(д),д) = 0 и
дтНп = дт(^А(Хп(д),д)^ = п~1дтфг + „~2дтф2 + ... + дтфк + А'(Хп(д),д)дтХп(д) влекут (3.44).
п) Заметим, что агссоэЬ есть непрерывная функция на множестве {а: €Е К, х > 1} и она вещественно апалитична на множестве [х е К, х > 1}. Значит, кп(д) = агссовЬ ((—1)^+1-пЯп( 2, д е йш. ш
Определим множество индексов
ЛГ = {V = : ип € (—1, +1} }, #ЛА = 2*. (3.45)
Для (о, г) е ЛГ х К+ введём множества
л; = {деО,ш: ||9|| < 1, ипдп > е, п = 1 к}, (3.46)
2ДеД) = {д: д = тр, р е 2?, те (0,1)}. (3.47)
Заметим, что 2” ф 0 для 0 < е <
Лемма 3.7. Для любого < е (0, 1о(е)) и 0 < £ < ^+-{, отображение Ф : 2и(е, £) —+ М* есть инъекция и локальный изоморфизм для некоторого ^(е), которое зависит только от е.
Доказательство. Пусть р,ц е 2"(е, 1) и пусть р ф д. Тогда ц = 1у, д 6 2” и р = Ьд + Ь5, д + 6 € 2" и0< ||<5]| < 1. Используя (3.13) и оценку полинома Ф2(д) = 0(||9||4), мы получаем
Ф(<9 + Ьб) - Ф(<9) = 1АУ<Пад(2дп + 8п)(1би ..., 1бк)Т + г(Ь)(Ьбь..., «4)Т
= 1АУ<Иад(2дп + 6п) + 0(12))(6Ъ...,4)Т ф 0, (3.48)
так как 2дп + <5„| > 2е и матрица А\г (Над (2дп + бп) обратима. Тогда при достаточно
малых 1 мы имеем Ф(р) ф Ф(<т). По Лемме 3.5.П, Ф есть изоморфизм, м
Теорема 3.8. Пусть д е QC'A^. Тогда
{) АеЛйчН ф 0 если и только если д ф Б = {д € <20<и : бе! бчФ(д) = 0}.
и) Если д ф Б, то !гп(д) > 0 для всех п = 1,.., к, то есть все лакуны открыты, т) Если дпф0 для всех п = 1 к, то р = яд ф Б и #Ъо(р) = 2к для любого в е (0, т) при некотором т = т(ц) > 0.