Об одном классе многозначных отображений с некомпактными образами

• Автор: Гельман, Алексей Борисович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 97 с.

Содержание

Основные обозначения

Введение
§0. Некоторые сведения из теории многозначных отображений и теории неподвижных точек

0.1. Некоторые сведения из теории многозначных отображений

0.2. Некоторые сведения из теории неподвижных точек и теории

топологической степени

§1. Неподвижные точки Н-вполне непрерывных многозначных отображений

1.1. Метрика Хаусдорфа. Пространство <£и(У)

1.2. й-вполне непрерывные многозначные отображения. Основ-

ные свойства

1.3. Однозначные компактные аппроксимации /-вполне непре-
рывных отображений
1.4. Неподвижные точки Д-вполне непрерывных отображений
1.5. Топологическая степень и неподвижные точки
1.6. Об одном классе .-непрерывных отображений
1.7. Уравнения с сюръективными операторами на сфере
§2. Неподвижные точки отображений относительно фиксированного множества
2.1. Определение и простейшие свойства Тб-ненодвижных точек
2.2. О неравенствах в пространствах с конусом

§3. Квазинеподвижные точки
3.1. Существование квазинеиодвижных точек у вполне непрерывных отображений
3.2. Существование квазинеиодвижных точек у некомпактных отображений
§4. Об одном обобщении понятия относительного вращения
4.1. О (/, /-подчиненных отображениях
4.2. Относительная топологическая степень
Литература

Основные обозначения
Заглавными буквами X, У, Z и т.д. в работе обычно обозначаются метрические пространства,
Е - линейное пространство, банахово или нормированное ( это оговаривается в тексте).
Если У - подмножество нормированного пространства Е, то:
Р(У) - множество всех непустых подмножеств в У;
К (у) - множество всех непустых компактных подмножеств в У;
У (У) - множество всех непустых выпуклых подмножеств в У;
С'п(У) - множество всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств в У,
Ку(У) - множество всех непустых компактных выпуклых подмножеств в У.
Многозначное отображение в диссертации всегда обозначается заглавной буквой У, С, Ф н т.д., а однозначные - малыми буквами /, д, с/? и т.д. Буквами 17, V, ТУ в работе обозначены открытые множества, и, V, IV - замыкание этих множеств, д1/, дV, дШ - границы этих множеств.
Если А - подмножество в X, то ие(А) = {ж 6 X р(х, А) < е] - е-окрестность множества А.
Если жо е X, то Вц[хо] - замкнутый шар радиуса X с центром в точке х0.
Т'х(Р) — {(зц) I я £ У(ж),ж € X} С X х У - график многозначного отображения У : X —> Р(У),
У+1(У) — {ж 6 Х| У(ж) С У} - малый прообраз множества У,

§1. Неподвижные точки /i-вполне непрерывных многозначных отображений
В настоящем параграфе вводится и изучается новый класс многозначных отображений. Эти отображения имеют выпуклые замкнутые, но некомпактные образы. Для отображений из этого класса удается доказать новые теоремы о неподвижных точках, которые в конце параграфа применяются к изучению разрешимости операторных уравнений с сюръектив-ными операторами вида а(х) = f(x).
1.1. Метрика Хаусдорфа. Пространство Cu(Y)
Пусть Y - метрическое пространство , P(Y) - совокупность всех непустых подмножеств Y.
Расстояние от точки х G Y до множества А € P(Y) есть
р (х, А) = inf { р (х, у)у еА}.
Пусть А,В & P(Y). Величину (конечную или бесконечную) р* {А, В) — sup р (а, В) называют отклонением множества А от множества В.

Пусть С(Х) - множество непустых замкнутых подмножеств в X. Рассмотрим функцию h : С(Х) х С(Х) —► RU ос,
h (А, В) = max { р*(Д В); р*{В,А) }.
Эта функция является квазиметрикой на множестве С(Х). Действительно, для любых А, В £ С(Х) выполнено:
1) h (А, В) > 0;
2) если h (А, В) = 0 , то А = В