О точных константах в неравенствах для норм функции и ее производных на конечном интервале

• Автор: Звягинцев, Александр Иванович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Рига
• Количество страниц: 110 c. : ил

ОБОЗНАЧЕНИЯ

Глава I. К РАЗРЕШИМОСТИ ПРОБЛЕМЫ

А.Н. КОЛМОГОРОВА

§ I. Допустимые наборы

§ 2. Три вариационные задачи для норм

функции и ее производных

§ 3. Функции Фт<И

Глава II. НЕРАВЕНСТВА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ

НИЗШИХ П

§ I. Случай Я

§ 2. Случай Я

§ 3. Оценки для норм промежуточных
производных
§ 4. О единственности экстремальной
функции
Глава III. НЕРАВЕНСТВА КОЛМОГОРОВА В
СЛУЧАЕ К = Я - /
§ I. Предварительный результат
§ 2. Решение задачи В
§ 3. Некоторые оценки для нормы
(П-/)-ой производной
§ 4. О единственности экстремальной
функции
СПИСОК ЛИТЕРАТУШ

Диссертация посвящена вопросу получения точных кон -стант в неравенствах между верхними гранями абсолютных величин функции и ее производных на конечном отрезке. Решение этого вопроса интересно не только само по себе, но и в связи со многими приложениями: в теории приближения, в теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений, в теории автоматического регулирования и т.д.
Приведем краткий обзор результатов, посвященных оценкам нормы промежуточной производной в случаях всей действительной оси, полуоси и конечного интервала.
Первые фундаментальные результаты содержатся в работах Ж.Адамара [I] и Е.Ландау [1,2]. Адамар Ж. рассмотрел случай всей числовой прямой I = (~ 00 т ■+• сЮ'), а Ландау Е. исследо -вал случаи полупрямой Х^С°>+<>0) и конечного интервала I ~ Г б > С Л . Оба математика рассматривали функцию /(^), которая определена на I и имеет первую производ -ную, удовлетворяющую условию Липшица. Обозначая через
Мс = 4(4р№&)1 М1 =Мри*(*)1 , Мг = №"(*)!
г'ех *£1
где Мг понимается как верхняя грань производных чисел функции /ГО , можно сформулировать следующую теорему.
Теорема Ландау-Адамара. Если 1 = (~а° , + о<э) , то
м, ^/гмЖ. (1)
Если X=Со }£ ] и £<2.1 » то
М<^М„+{Мг. <2)

Если 1=Г°,£] и /' или /=^<7, + °°) , то
м^гУмЖ . «>
Все неравенства в этой теореме точные,.так как существуют функции, называемые экстремальными, для которых нера -венства обращаются в равенства. Таким образом, случай, когда порядок старшей производной равен двум, полностью разобран Ж.Адамаром и Е.Ландау. В тот же исторический период П.Боль [і] для конечного отрезка рассмотрел более общий случай.
Теорема Боля.„Пусть для всех ^ из промежутка уЗ , /ъ>аС , задана функция £ (£) , имеющая производные
до порядка ус/ , yM'2-Z , включительно. Для /$) / существует верхняя грань. Пусть каждая из функций // , / " ...у имеет на указанном промежутке по крайней мере
ПО одному нулю. Символ СУ] , У=ОуСу ,,.у/М , пусть 03 -начает верхнюю грань величины на заданном
промежутке, причем /СО) ) пусть означает саму функцию £({) . Тогда
^ 7=;/, 2 ^-/. “
А.Н.Колмогоров поставил следующую проблему. Пусть Т обозначает один из интервалов Г'00/00) , + °°) , Соу £]
и задана произвольная система целых чисел вида
Ко = 0 ^ Кі < . Kj
Найти необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять система положительных чисел Мк0, А[к, >.,., А|к] у
для того, чтобы существовала определенная на I функция
, обладающая на I абсолютно непрерывными производными до порядка /Су~/ включительно, которые вместе с

В первом случае из (2.2.13) имеем
= + ~ 6*г- 3(/+сС+/)£+ **■*/*>+/$/>
где £? ёГ* ><6 1 Ж
(/+*+/ь-в*) Г/ ~3*/з (Гг-/) = &.
Для доказательства (2.2.17) достаточно доказать простое неравенство
-2(&-*)г~ (/+*+/2,-26/)/ * О
Так как - 2(6? - /)г2 -2/г+/^* для £*• ^ /: , то получаем тривиальное неравенство
-2/г - //+*+/2-/6^)/ £ О у
которое обращается в равенство только при * =0.
Во втором и третьем случаях
3-г = 12~£2 С/~ 'К)#- ГсУ ~ б ** +
-*~Ъ (/+ 2.+/1) / -*-*/2. -/1 /у
где 6е удовлетворяет
(<6+/2> - Ъ*)/3 (/>-*)(/- *е)г =(/-*) 0+2,- 3/)(/2~*е)г
и соответственно *6 £>/з>7 у /з 7 . для доказательства (2.2.17) достаточно показать, что
2(1-о/уХ^+б>-3*)(1- 3 " б/г +
+Ъ(/+ *+/)* - 2(<2 + оС/& +//) < О
Учитывая (/-2~б)?' ^ (/-*/ * /-* , получаем очевидное неравенство
- б*г~ Ъ(/-*-/*) О .
В четвертом случае