Некоторые экстремальные задачи для дискретных периодических функций

• Автор: Рудомазина, Юлия Дмитриевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 118 с.

Основные обозначения

Глава 1. Дискретные задачи Фейера

§ 1. Гармонический анализ на Ъч

§ 2. Постановка экстремальных задач Фейера на Ъч

§ 3. Коэффициенты одного класса четных тригонометрических полиномов

§ 4. Одна диофантова задача

§ 5. Решение дискретных задач Фейера

Глава 2. Дискретные задачи Турана, Дельсарта, Джексона

§ 1. Экстремальные задачи Турана и Дельсарта ъъ,Ъч

§ 2. Константы Джексона в пространстве ^(Дд)

§ 3. Коды на конечных абелевых группах

§ 4. Многомерные дискретные экстремальные задачи
Список литературы

Основные обозначения

N — множество натуральных чисел, Ъ — множество целых чисел, Ж — множество действительных чисел, С — множество комплексных чисел;
М — мощность конечного множества М, [га, тг] = {га гг} — отрезок целых чисел;
р, д Є Н, р | д (р { д) — р делит д (р не делит д), (р, q) — наибольший общий делитель ряд]
х Є Ж, [ж] — целая часть числа х (наибольшее целое, не большее ж), ]ж[ — наименьшее целое, не меньшее X]
д Є Н, д ^ 2, = {0,1 д — 1} *— циклическая группа вычетов
по тосі д, го — [д/2];
д = (д0 д?г-і) Є Н", дк ^ 2, /г Є [0,п- 1],
Gq — X ■ ■ ■ X ^Lqn_l — {ж — (жо, . . . , Жп_х) . Ж/с £ 2^,.}
— конечная абелева группа с операцией покоординатного сложения по соответствующему модулю;
М0 = 1, Мх = до, Мк+1 = Мкдк, к £ [0,п - 1],ж,у е М = ^хкМк, (ж, у)
А;=0 г
ж 6 Сд, 4(ж) = щщ{|ж|, | - ж|), <22(ж) = тах{|ж|, | - ж|},
б?! (ж, у) = Ф(ж-у), <к(х,у) = й2(ж-у), -Нп = ((7£,ф(ж,у))
— ассоциативные симметричные схемы отношений на С А г = 1,2, У/ = УЬ У21=У2;
А(Сд) — множества значений отображений ф(ж, у), г = 1,2;
тг(к)С^) = тах{|С| : С С <7£, Уж,у е С,ж ф у,ф(ж,у)
— максимальные мощности /с-кодов на Угп, к € ф((7ц), г = 1,2;
/2(С") — евклидово пространство всех функций / : (7 скалярным произведением
(/.я) = ду: 5] /(жЖж)
и нормой ||/||2 = л/(/, /);

е(ж) — ехр(2тх), с(ж) — cos(27ra), {(рДж) = е((и,х)) : v Є G”} — полная ортонормированная система в h{Gg) (система характеров группы Gg);
di{v) к є di{G;
— величины наилучшего приближения функции / Є l2(Gq),
Ui{d, /, G£)2 = тах{||/(ж + h) - /(ж)||2 : d*(fr) < d}, d Є di{G
ее модули непрерывности,
Di(d,k,Gg)2
EkAf>G")2
q/Z /Єіа(С?)
— константы Джексона в пространстве h(Zq), і — 1,2;
Ai(fc, G£) = sup{/(0) : /(ж) = Uvv{x), /о = 1, /(ж) > 0, ж є G }
di(v) — дискретные задачи Фейера для схем УД к Є dt(G”), г = 1,2;
Ai(fc,GJ) = sup{/(0) : /(ж) = ^ fvVu{x), /о = 1,
di(y) Tv'Z 0, 0 < di(u) < к, /(ж) > 0, ж Є G}
— дискретные задачи Фейера для положительно определенных полиномов и схем У/1, к Є di(Gg), і = 1,2;
аТ,і(к, G) =sup{/o : /(ж) = Д^(ж), /(0)
= 1,
MEG"
Jv > 0, г/ Є G”, /(ж) = 0, di(x) ^ /с} дискретные задачи Турана для схем УД к Є dj(G”), і = 1, 2;
aD,i{k, G) =sup{/0 : /(ж) = ^ Л^Дж), /(0) = 1,

Числа Арк(0) полезны для контроля правильности вычисления значений Хк(5)- Они могут быть найдены по формуле, которая приводится в следующей лемме.
Лемма 1.6. Для к — 1,... ,р
в?(0)
А1(о) = х№+2'£х1(о) = сЪ_2.

Доказательство. Согласно (3.6)
оРГт- ГГ 2р ~ у - (2Р-1)! -гк
- п у - к(2р-к-1) _ 2г’-1'
Отсюда и из (3.2), (3.7)
к к
АШ = £>1)*-‘В?(0) = = С%_2.
в=0 5
Последнее равенство легко проверяется по индукции. Лемма 1.6 доказана.
§ 5. Решение дискретных задач Фейера
В этом параграфе будут решены задачи Фейера (2.5)—(2.8). Экстремальные полиномы в задаче (2.5) будем обозначать
РРЛ(х) = ]Г 9кх/д), = 1, (5.1)

т а в задаче (2.6) —
!РДх) = 1 + ^2 ТкЧс(кх/ч)- (5-2)
к=р
Вначале исследуем задачи (2.5), (2.7). Рассмотрим случай р
= и> +1.