Некоторые вопросы спектральной теории операторов второго порядка с аналитическими потенциалами

• Автор: Андрианов, Александр Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с. : ил

Оглавление.
Введение
Глава I Переходные функции и решение обратных задач для некоторых классов операторов Штурма-Лиу вилля

§1. Описание семейства переходных функций для операторов класса

§2. Другое описание переходных функций и обратная

задача

§3. Обратная задача для одного класса операторов на отрезке со спектром п

Глава II Спектральные разложения и прямая задача для операторов с потенциалами — экспоненциальными суммами

§4. Спектральные теоремы для потенциалов — сумм

рядов из экспонент

§5. Спектральные теоремы для потенциалов — конечных сумм экспонент

§6. Решение уравнения Кортевега-де Фриза с начальным потенциалом сег1Х
Литература

Введение.
Спектральная теория дифференциальных операторов в настоящее время является важным разделом общей спектральной теории операторов и активно развивается различными математическими школами. В этой области получены фундаментальные результаты, которые находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики.
Начало этой теории в случае сингулярного оператора Штурма-Лиувилля было положено в работах Г. Вейля и нашло дальнейшее развитие в работах Э.Ч. Титчмарша [1]. Другие подходы при изучении спектральных свойств дифференциальных операторов были разработаны Б.М. Левитаном, А. Плейелем, С. Минакшисундарамом,
А.Г. Костюченко, В.А. Ильиным и др. Достаточно полный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальных операторов (обыкновенных и в частных производных) дан в [2], там же можно найти подробную библиографию вышеуказанных авторов.
Одной из важных классических задач математической физики является задача о вычислении первых собственных значений оператора Штурма-Лиувилля. Достаточно упомянуть её роль в использовании метода Фурье для приближённого решения классических краевых задач в частных производных и в задачах теории устойчивости. Естественно, что проблеме вычисления первых собственных чисел посвящены исследования многих математиков.
Наиболее употребительный метод её решения основан на хорошо известных равенствах, связывающих итерированные функции Грина рассматриваемой задачи и её собственные значения:
Одно из наиболее глубоких исследований в этом направлении принадлежит A.A. Дородницыну [3]. Суть метода проста: обрываем в

(0.1)
равенствах (0.1) ряды до слагаемых с номером N и берём N + 1 первое равенство. Решаем полученную конечную систему и получаем приближённые значения собственных чисел, тем более точные, чем большее Лг взято.
С созданием теории регуляризованных следов И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном [4] в 1953 г. и результатами И.М. Гельфанда [5], Л.А. Дикого [6], а также с появлением фундаментальной работы
В.Б. Лидского и В.А. Садовничего [7] в распоряжении математиков появились новые соотношения на собственные числа операторов —-регуляризованные следы к-го порядка:

'Е(Хкп-Ап(к)) = В(ку, к = 1,2,...; (0.2)

здесь Ап(к) — отрезок асимптотического разложения по степеням п такой, что обеспечена абсолютная сходимость ряда (но, вообще говоря, не обязательно минимальный из таких фрагментов асимптотического разложения), а В (к) — сумма этого ряда, собственно и называемая к-ым регуляризованным следом. Эти равенства важны и интересны из-за того, что и Ап(к), и В (к) выражаются в конечном виде через коэффициенты дифференциального выражения и краевых условий и их вычисление вполне может быть алгоритмизировано [8].
В связи с этим И.М. Гельфанд и Л.А. Дикий [9] предложили в 1957 г. новый метод приближённого вычисления первых собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля: аналогично схеме использования системы (0.1) удержать в системе (0.2) частные суммы рядов до IV-го слагаемого в N + 1-м регуляризованном следе и полученную приближённую систему решить, найдя некоторые приближения к собственным числам задачи. В [9] сделано конкретное вычисление для уравнения Матье по указанной схеме и получены значения трёх первых собственных чисел, верные в третьем знаке после запятой. Однако в [9] данный метод не обоснован: никаких оценок при переходе от рядов к их частным суммам сделано не было.
В 1995 г. С.А. Шкарин [10] доказал неединственность решения бесконечных линейных систем определённого вида и, в частности, для систем вида (0.2) из его результатов следует, что если в системе регуляризованных следов (0.2) числа А„ считать неизвестными и решать эту систему относительно Ап, то у (0.2) существует континуум решений, причём мы можем заранее совершенно произвольно задать любое конечное число (различных) собственных чисел и всегда суще-

к ( 12к [(«—1)/2] 1 k-t Іі+ІгЧ------bjp—k-t р
Е Е Сп-1 Е зтиЕ(-1)р Е П Сад-i
/=і ^ п=і г=о hi p=i ji,}2i—Jp>o і=і '
А-—] п Іі+ІгН-Hip—п р ^
кмГ2 + Е (Л - гг) Е ИГ Е П Н-шГ2”-
v n=l р=1 juh,--Jp>0 1=1 /

1 2d- [(п—1)/2] і k-t Іі+ІгН-Hip— fc-t p
H(-1)X-1 E -sraE(-i)' E П«
z n=i h=o 6i p=i ii,ia....ip>0 i=i
/( к—1 n ii+jiH--Hip—n p ^
/ И*-2 + E (* - n) ЕИГ E П Сад-И*-2”-
' 11=1 P=1 iU2,..,ip>0 1=1 / /
Далее докажем следующую теорему.
Теорема 1.3. Пусть оператор Штурма-Лиувилля (1.1 )-(1.2), принадлежащий классу S, таков, что асимптотическое разложение функции (р(х, А) обрывается после слагаемого
sin у/Хх
и пусть
Kr(x) = hnfrD2i-ie^ + tfDue-»*),

k ( 2т (2mV
Krm{x) = E Ди-i E(-i)p J-Hi'-p
1=1 V P=o Hi V-
n 2m (2m)! _p
E 2m—2r+l—p ,Ж Є
p=o /*Г" ~ ' * "P‘
где числа И2/-1 и 4^21 определяются из равенств (2.1) и (2.2).
Тогда справедливо следующее выражение для ядра К(х,у) оператора преобразования:
, , 0 у2т

г7 , _ У Пж) &гт(х) / Г|т=0д_
^ ^(^т(ж))г,т=0ТЩ
Доказательство. Принимая во внимание то, что К(х,у) есть
полином £ дт(т)у2т, молено получить [12] следующую линейную си-

стему из к уравнений относительно к неизвестных функций дт(х):