Мультипликаторы Фурье-Хаара в симметричных пространствах

• Автор: Уксусов, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 98 с.

Глава I. Основные обозначения и предварительные сведения

§1.1. Пространства измеримых функций

§1.2. Симметричные пространства

§1.3. Ряды Фурье-Хаара

§1.4. Дополнительные сведения

Глава II. Мультипликаторы рядов Фурье - Хаара

§2.1. Ограниченность мультипликаторов Фурье - Хаара

в пространствах Ц и

§2.2. Ограниченность мультипликаторов в пространствах Еу

§2.3. Норма мультипликатора в паре пространств (Хр,®5 Ьй)

§2.4. Ограниченность мультипликатора Л£ в симметричных

пространствах с нетривиальными индексами Бойда
§2.5. Различие свойств мультипликаторов
в пространствах Лоренца и Х«,
§2.6. О непрерывности мультипликатора из
пространства Марцинкевича в пространство Лоренца
Глава III. Базисные свойства системы Хаара
§3.1. Ограниченность проектора в пространствах Лоренца
§3.2. Условные базисы в симметричных пространствах
§3.3. Ограниченно полные базисы
Библиографический список использованной литературы

Система Хаара была введена в анализ в докторской диссертации Хаара в 1910 году для построения базиса в пространстве С[0, 1]. Им же были найдены первые замечательные свойства этой системы. Позднее система Хаара стала изучаться и применяться во многих разделах анализа.
Среди банаховых пространств и, особенно банаховых решеток, важное место занимают симметричные (перестановочно-инвариантные) пространства. Значение теории симметричных пространств объясняется тем, что многие функциональные пространства, такие как Ьр, Лоренца, Мар-цинкевича, Орлича и многие другие, являются симметричными. Их изучению посвящена обширная литература.
Сходимость и безусловная сходимость рядов Фурье-Хаара в пространствах Ьр исследована в многих работах. Здесь можно указать монографии [4], [8], [21], [29], статьи [6], [12], [13], [14], [15], [30]. Безусловная сходимость таких рядов тесно связана с ограниченностью мультипликаторов по системе Хаара. Этой тематике посвящены работы [2], [9] и др.
Предлагаемая диссертационная работа продолжает исследование рядов Фурье-Хаара в симметричных пространствах. Рассмотрен вопрос об ограниченности мультипликаторов по системе Хаара в различных симметричных пространствах, изучены базисные свойства системы Хаара в симметричных пространствах. Обобщен ряд теорем, посвященных данной тематике.

Основное содержание диссертации изложено в главах II и III. В первой главе собраны необходимые предварительные сведения и стандартные обозначения, используемые в работе.
В предлагаемой работе перестановочно-инвариантные (симметричные) пространства сокращенно обозначаются гл. пространствами, система функций Хаара сокращенно обозначается с.Х.
Во второй главе диссертации изучаются условия ограниченности мультипликаторов по с.Х. Доказаны теоремы 2.1 -2.6.
Обозначим через О множество индексов
порождает линейный оператор Л (называемый мультипликатором), который на полиномах по с.Х. определяется следующим образом:
Хорошо известно, что с.Х. образует безусловный базис в Ь , 1 < р < со. Отсюда вытекает, что ||Л||£ « эир I Яп к |. В Д и Ьа. с.Х. не является
безусловной. Поэтому возникает вопрос о вычислении нормы мультипликатора в Ц и Хю.
{(0,0), (п,к), п = ОД 1<к<2"}.
Всякая последовательность
(п,к)єСї
Последовательность вложенных друг в друга диадических интервалов
До з Д^1 тэ... з Д*", п є N

§2.2. Ограниченность мультипликаторов в пространствах Ег
Докажем следующую лемму.
Лемма 2.3. Пусть Е-симметричное пространство на [0; 1], индексы Бойда которого аЕ и /3Е удовлетворяют неравенству 0 < у < аЕ < /3Е < 1. Обозначим через Е множество функций х(7) для которых
1*11*
< со.
Тогда выражение х*(ф 7 является нормой в пространстве Е
II ' ' IIЕ '
Доказательство. Прежде всего, проверим, что множество Еу не
является пустым. Для этого достаточно показать, что Г7 е Е. Действительно

t 7 ее,
2“2“
00 СО
Е 4=1 4
Так как по условию леммы у<аЕ, то ряд сходится и,
следова-

тельно,
00 об-“£)
Г7 <СУ2к{г~аЕ) =С 7—г.
М £-1 1 ъУ-аБ)

Докажем теперь, что ||х|| = х* Ч удовлетворяет неравенству
треугольника (остальные свойства нормы очевидны). Для этого оценим