Масштабирующие уравнения

• Автор: Протасов, Владимир Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 313 с.

Основные обозначения Введение

1 Основные свойства

1.1 Существование и единственность решений

1.2 Условия Стрэнга-Фикса

1.3 Приближения

1.4 Стабильность и ортогональность

1.4.1 Линейная независимость

1.4.2 Стабильность и свойство базиса Рисса

1.4.3 Ортогональность

1.5 Гладкость масштабирующих функции

1.5.1 Метод поточечной оценки

1.5.2 Матричный метод
1.6 Примеры
2 Гладкость фрактальных кривых
2.1 Фракталы и масштабирующие функции
2.2 Фрактальные кривые в Ьр
2.3 Гладкость в ЛУр и С1'
2.4 Локальная гладкость
2.5 Примеры
3 Иерархия масштабирующих уравнений
3.1 Операторы чистого полинома
3.2 Очистка произвольного полинома
3.3 Ядра и корневые подпространства
3.4 Общие собственные подпространства
3.5 Структура операторов То,Ті
3.6 Факторизация масштабирующих уравнений
3.7 Пространство
3.8 Гладкость масштабирующих функций
3.9 Модули непрерывности
3.10 Локальная гладкость в каждой точке
3.11 Сходимость каскадного алгоритма
3.12 Сходимость итерационного процесса
3.13 Точность критерия сходимости
3.14 Зависимость решений от коэффициентов
3.15 Построение решений
3.16 Многообразие масштабирующих уравнений
4 Специальные случаи и приложения
4.1 Малые степени
4.1.1 Случай degxno = 0. Масштабирующие сплайны
4.1.2 Случай degmo = 1. Два сжатия на прямой
4.1.3 Случай degm0
4.1.4 Случай degm0 > 3. Высокие степени
4.1.5 Примеры
4.2 Гладкость всплесков
4.3 Локальная гладкость всплесков Добепш
4.4 Кривые де Рама
4.4.1 Основные свойства кривых де Рама
4.4.2 Представление в виде фрактальной кривой
4.4.3 Несколько вспомогательных утверждений
4.4.4 Локальная и глобальная гладкость
4.4.5 Распределение точек фиксированной
локальной гладкости
4.4.6 Оценка средней гладкости
4.5 Распределение вероятностного ряда
4.5.1 Постановка задачи
4.5.2 Связь с масштабирующими уравнениями
4.5.3 Критерий существования плотности
4.5.4 Особые случаи
4.5.5 Применения критерия абсолютной
непрерывности
4.5.6 Точность критерия
4.5.7 Уравнения с положительными коэффициентами
4.6 Кусочно-гладкие функции
4.6.1 Классификация масштабирующих сплайнов.
Постановка задачи
4.6.2 Классификация кусочно-гладких
масштабирующих функций

4.6.3 Структура масштабирующих сплайнов
и сходимость уточняющих схем
4.6.4 Вторая факторизационная теорема
4.7 Функция разбиения Эйлера
Список литературы
Предметный указатель

Итак, гладкая масштабирующая функция удовлетворяет условию Стрэнг; Фикса, и ее целые сдвиги порождают все полиномы соответствующей степени. В частности, при Ь — 0 получаем
Следствие 1.2.5 Суммируемая масштабирующая функция с компактным носителем обладает свойством разбиения единицы:
^2<р(х - к) = 1.
квЖФактически, доказывая теорему 1.2.3 мы установили несколько более сильное утверждение:
Следствие 1.2.6 Если <р(£) = о((~ь) при £ -» оо, то <р удовлетворяет условию Стрэнга-Фикса порядка Ь.
Естественно, что условия Стрэнга-Фикса для масштабирующей функции должны быть охарактеризованы в терминах коэффициентов уравнения {си}, или в терминах символа т. Для этого рассмотрим бинарное дерево Т. построенное следующим образом: корню дерева поставим в со-ответствие число 1, он лежит на нулевом уровне, число | лежит в вершине первого уровня, соседней с корнем, числа | и | - в вершинах второго уровня, соседних с {I}. Далее дерево строится по индукции: если число 7 находится в вершине п-ного уровня, то ее соседи на (п + 1)-ом уровне -числа у/2 и | + 7/2. Таким образом, на п-ном уровне находятся числа
2"п_1(2А + 1), к = 0 2п
(далее будем отождествлять вершины с соответствующими числами). Валентность (число ребер исходящих из вершины) у корня равна 1, а у всех остальных вершин равна 2.
Пусть А ~ подмножество вершин дерева, некоторые элементы А могут совпадать, в этом случае они считаются с кратностью. Назовем А блокирующим множеством кратности г (г > 1), если оно не содержит корня И любой бесконечный путь ПО дереву а'О —» «1 —>■ ..., выходящий из корня (вершина а и ~ из к-того уровня, все пути по дереву - с возрастанием уровней, т.е., без хода назад) имеет ровно г общих элементов с множеством А, считая с кратностью. Например, вершина {|} является блокирующим множеством кратности 1. Это блокирующее множество будем называть тривиальным, все остальные - нетривиальными. Все блокирующие множества конечны. Каждое нетривиальное блокирующее множество содержит пару симметричных вершин, т.е., пару {а, 1 - а}.