Вырождающиеся псевдодифференциальные операторы на компактной римановой поверхности

• Автор: Семенко, Евгений Вениаминович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 255 с.

Введение
В самом общем случае пеевдодифференциальный оператор для функции двух переменных - это линейный оператор, заданный в плоскости преобразования Фурье [1, с.97]:

Af = A(fz) = J a(z,£)f(£)eiz( d£,

2 = {х,у), £ = (£i,£2), = x£i + у£2, d£ = d£id£2; /(£) - преобразование

Фурье функции /(г) [2]:

/(*) = J №ei2(dS или /(£) = J f(z)e~izidz,

dz = dxdy.
Функция в(г, £) называется символом оператора А. В частности, единичный оператор Е : / -+ / будет псевдодифференциальным с символом, тождественно равным единице.
Обычно класс псевдодифференциальных операторов определяется условиями на символы. Так, стандартные условия на класс символов - полиоднородность по £ и бесконечная гладкость по :и( (см. 111)-
Псевдодифференциальные операторы на классе функций, заданных на многообразии, определяются в терминах линейных операторов для функций двух переменных, получающихся при отображении переменной на многообразии в плоскость карты [1]. В настоящей работе рассматриваются псевдодиффсрснциальные операторы на римановой поверхности, т.е. на компактном двумерном комплексно-аналитическом многообразии без края.
Хорошо известный пример псевдодифференциальных операторов для функций одной переменной - одномерные сингулярные интегральные операторы. Так, пусть
Lx = {z I z = 1 }

-единичная окружность, сингулярный интегральный оператор

Б} = 5(/ | г) = 1 /
7гг ]

будет псевдодиффсренциальным с символом

в(£) = •{ /
Действительно, в этом случае преобразование Фурье - это разложение в ряд Фурье
оо оо
/(*) = £ '№$* = £ > € 6 г, г = е“ , х 6 [0,2тт],
-ОО £=-
причем в силу формул Сохоцкого [3, 4] 5( Є>о, Є <о,

5(/ | г) = £ sgn(0/(£)z^■

Отметим, что символ оператора 5 разрывен при С = 0.
В настоящей работе речь пойдет о решении уравнения А/ = д, где функции /, д принадлежат некоторым функциональным пространствам: / € X, д € У; А : X У - линейный псевдодифференциальный оператор. В дальнейшем задачу решения уравнения А/ = д для краткости будем называть "обращением оператора А". При обращении оператора необходимо, как минимум, описать следующие пространства:
• ядро оператора, т.е. множество решений однородного уравнения ксгЛ = { / в X А/ = 0} С X-
коядро оператора в сопряженном пространстве У* или условия разрешимости
сокегА = {д* Є У* | дА/) =0, V/ € .V } С Г*.

Очевидно, условия д*(до) = 0 Уд* Є сокег А необходимы для разрешимости уравнения А/ = д0. Если эти условия и достаточны, т.е. образ оператора
тА = {д = А/ | / Є X } С У
- замкнутое подпространство У, то оператор А называется нормально разрешимым (по Хаусдорфу) |1], [5, с.29].
Особый интерес представляет случай, когда образ оператора ітА имеет прямое дополнение в пространстве У, которое в этом случае также называют коядром оператора (в пространстве У):
У — іт А ® сокет А .
Пусть С?о '■ У сокег Л - проектор на коядро [б, с.130], тогда условия разрешимости уравнения А/ = д имеют вид (фад = 0.
Далее, если кет Л ф {0}, то решение уравнения А/ — д неединственно. Для выделения единственного решения в этом случае необходимо на решение наложить дополнительные условия. Если ядро оператора имеет прямое дополнение в пространстве X:
X = кет Л ® Х
и С)і : X -» кет Л - проектор на ядро, то в качестве дополнительных условий можно задать проекцию решения на ядро оператора С}і/ = /0, где /о Є ксг Л - произвольный элемент ядра.
Отметим, что ядро и коядро оператора можно описать с точностью до изоморфизма, т.е. до взаимно однозначных отображений
Лд : А о <—^ кет Л , Во ; Уц ( У сокег Л .
Для уравнения Л/ = д часто бывает целесообразно (и даже необходимо, см. |4, 5]) рассматривать его решение / Є X как оператор над правой частью д € У. В таком случае при кег Л ф {0} следует наложить дополнительные условия на решение /, а при сокег Л ф {0} следует спроектировать правую часть д на образ оператора іт Л. Проектирование обычно задается с помощью введения дополнительных искомых слагаемых в правую часть уравнения. Итак, рассмотрим задачу
| Л/ = д + В0фо ,
Л0/ = /о,
где /о - заданный (произвольно) элемент пространства Аго, Ло : X —> Хо', гро ~ искомый элемент пространства Уд, А) : Уо У■ Будем называть (1)

и функции
®(G|z) = 5o(lM*)±SoW*>l*)±*«/2, zeD±, G G хо-
Заметим, что если положить X±(z) = ехр(Ф(С|г)), то для G(t) = X+(t)/X~(t) выполнено условие (i) и Л'±(г) ограничены и сверху и снизу в D±. Отсюда, в частности, следует, что хо С Л+ПЛ~. Несложно установить сраведливость следующего утверждения [33, с.118-120|:
Теорема 1.
1. Если Z G Е, то G(t) = ехр{Фо(^ | t)} G Л+.
2. Если G(t) G Л+, то ее можно представить в виде
G(t) = G0(t)exp{0(Zt)}, Goexo, ZeE, (1.14)
причем решение задачи факторизации X+(t)/X~(t) — G(t) будет иметь вид
Л'±(2)=ехр{Ф(С0|г)+Ф(2±г|г)}, zeD±. (1.15)
Следствие, хо = А+ П Л-.
Функции G(t) G Л* и последовательности Z G Е будем называть соответствующими (G 44 Z), если имеет место представление (1.14):
G(t) = G0(t) ехр{±Ф0(2 | t)}, G G Л±.
При этом можно построить решение задачи факторизации
X+(t)/X~(t)=G(ty, [X{Z)]±l = 0, GeA*,
вида (1.15) Л^г) = ехр(Ф(С0 | z) ± Ф(2±11 z)), которое назовем каноническим.
Соответствие G 44 Z разбивает Л* и Е па классы эквивалентности
X = X(G) = x(Z) = {G | G 44 Z} = {G | G/G G Xo} = G • Xo,
N = N(x) = N(G) = N(Z) = {Z | Z 44 G} =
= {Z | Ф0(£ 11) — Фо(Z | t) = So^o | Oi € Яо), причем имеет место следующее соответствие между классами:
х 44 Я = 7V(x) <=^ {VG G X, Z G Я : G 44 Z}.