Внутренние и внешние смешанные обратные краевые задачи по параметру x

• Автор: Низамиева, Лилия Юнисовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 102 с.

Содержание
Введение
ГЛАВА 1. Использование краевых задач для нахождения акцессорных
параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца
§ 1.1. О сходимости последовательностей и семейств аналитических
функций
§ 1.2. Вывод дифференциальных уравнений для определения акцессорных
параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца
§ 1.3. Примеры
ГЛАВА 2. Приближенный метод решения внутренней смешанной обратной
краевой задачи по параметру х
§ 2.1. Вывод дифференциальных уравнений для внутренней смешанной
обратной краевой задачи по параметру х
§ 2.2. Пример
ГЛАВА 3. Уравнение Гахова для внешней смешанной обратной краевой
задачи по параметру х
§ 3.1. Уравнение Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х на полигональной римановой поверхности с простой точкой
ветвления на бесконечности
§ 3.2. Уравнение Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х на римановой поверхности с точкой ветвления на
бесконечности произвольного порядка
Список литературы
Введение
Диссертация посвящена исследованию смешанных обратных краевых задач для аналитических функций по параметру х.
Под обратными краевыми задачами понимаются задачи отыскания контура по некоторым величинам, заданным на нем. Обычная постановка таких задач заключается в том, что в искомой области ищется функция, принадлежащая заданному классу (аналитическая или являющаяся решением какого-либо заданного уравнения), причем на контуре независимых условий задается на единицу больше, чем их требуется для решения обычной (при заданной области) для данного класса функций краевой задачи. Обратные краевые задачи - научное направление, получившее широкое применение в задачах механики, сплошных сред и физики. К настоящему времени оно довольно хорошо разработано, особенно для аналитических функций и находит приложение в таких областях, как аэродинамика, гидродинамика, теория фильтрации, теория взрыва, электрохимическая размерная обработка металлов.
Развитие теории обратных краевых задач началось с работы Г. Г. Тума-шева [89], где дано точное и эффективное решение некоторых задач гидромеханики. М. Т. Нужин [70] дал общую постановку обратной краевой задачи и сформулировал ее впервые как математическую задачу для аналитических функций. С тех пор теория обратных краевых задач стала активно развиваться. Исследования теоретического и прикладного характера проводились в тесном взаимодействии. Некоторые из них описаны в монографиях [91], [90], [71], [79], обзорных статьях [1], [5] и др. Обратным краевым задачам посвящено большое количество работ казанских математиков и механиков.
Интересным классом являются внешние обратные краевые задачи, когда искомая область содержит бесконечно удаленную точку. Одной из основных обратных краевых задач для аналитических функций является внешняя обратная краевая задача по параметру й в постановке Ф. Д. Гахова [14]. Ф. Д. Гахов нашел уравнение для определения полюса искомой функции и доказал его разрешимость. Это уравнение стало называться его име-

нем: В дальнейшем оно исследовалось многими,авторами (Л: А. • Аксентьев, М..И; Киндер, А. В'. Киселев; С. Н. Кудряшов, С. Р. Насырон. В. С. Рогожин, С. Б. Сагитова, П. Л. Шабалин и др.), которые изучали вопросы единственности решения этого уравнения, структуру множества, его корней и пр. В [75], [76] построены примеры функций, для которых уравнение1 Гахова имеет’несколько решений.. Работы [40), [41], [42] посвящены .вопросу условий единственности внешней обратной краевой задачи. В [98] было получено интегральное представление решения внешней обратной краевой задачи, и на его основе выведен аналог уравнения Гахова. В [3] выделены классы мероморфных функций, обеспечивающие единственность решения внешней обратной краевой задачи. При построении этих классов использован метод подчинения- для функционалов. Дано сравнение с теоремами единственности в. обратных задачах теории логарифмического потенциала.. В [б]* построен пример; показывающий, что множество корней уравнения Гахова в дву связной области может содержать континуум. В работе [37] показано, что уравнение Гахова во внешней обратной краевой задачи.по параметру б имеет конечное число решений. В’[7] доказано, что точка:Шо тогда и только тогда, удовлетворяет уравнению Гахова, когда она является стационарной точкой некоторой поверхности в Я3. На основании этого в работе [36] не только доказана разрешимость уравнения Гахова при наиболее слабых требованиях на начальные данные; но и установлено, что число его корней не меньше, чем порядок связности области
Обобщением обратных краевых задач-[91], [14] являются смешанные обратные краевые задачи, которые являются важным классом краевых задач; с неизвестной (свободной) границей. Как правило,, в этих задачах ищутся область с частично неизвестной границей и аналитическая в этой области функция по заданным краевым условиям. На неизвестной части краевые значения неизвестной функции задаются через некоторый параметр, в качестве которого выбирается дуговая абсцисса в, декартова координата х, полярный радиус или полярный угол.
Опишем некоторые работы, в которых исследовались смешанные обратные краевые задачи.
В своей работе [105] Б. Демченко решал смешанную краевую задачу для

йп8г
1 I 1 I уУ^-1 ^•~1 V
— к С~ ^2 V С ~ А; С- Ьк+2^)
Таким образом, 6^ и имеют следующий вид:
*-«‘-->п(г£ьГ“
*(^-^Е^-Е^«-4 <8>
®-о(с-(1,(с-„п(^)"'^
+ ^ + £&£тгЕ7т|- И
- Ь С — *2 С - ^ С - Ьк+2^ )
Приравняем ^ и <5^
<*1 , °2 , <*? ~ 1 Г>_«? -
' - Г — /о С ^ С —
^ - *1 С - <2 С - Ь ^2к+2^
Упростив, получим следующее соотношение
С.« - *,)(( - Ь) х ^2_ + _£*_ + £ 2^