Весовые оценки интегралов Римана-Лиувилля

• Автор: Прохоров, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 77 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
§1.1. Особенности интегральных операторов
§ 1.2. Классические результаты Г.Г. Харди о дробных интегралах
§ 1.3. Случай а >
§ 1.4. Критерий К. Андерсена и Э. Сойера
Глава 2. Ограниченность и компактность одновесовых операторов Римана-Лиувилля в лебеговских пространствах
§2.1. Ограниченность
§ 2.2. Компактность
§ 2.3. Двойственные и дискретные варианты
§ 2.4. Другие результаты
Глава 3. Случай переменных пределов интегрирования
§3.1. Предварительные замечания
§3.2. Ограниченность
§3.3. Компактность
Глава 4. Весовые неравенства и нелинейные уравнения
§4.1. О нелинейном уравнении типа Рнккатп
§ 4.2. Об интегральном уравнении Абеля второго рода
Литература
Введение
ц иг ^ V .0 I
Идея обобщения понятия производной —,------------ на нецелые значения В

привела к появлению дробного дифференцирования и, обратной к ней, операции дробного интегрирования, Среди различных подходов к определению последней отметим лиувиллевскую форму
—1— [ ф(х + Шр~' Л, х Є К, Р > 0.
Г(р) М
полученную в работе [34], и конструкцию
(1аф)(х) = ——- / , г —, х >0, а > 0, (0.1)
1 аЧ)К 1 Г(с*)./0 (ж-і)1“"
указанную в работе Б. Римана [49] и, независимо, в работе X. Хольмгрена [31]. Подробный исторический обзор по данному кругу вопросов имеется в капитальной монографии [1.1], где. в частности, выражение (0.1) и сопряженные к ним называются дробными интегралами Римана-Лиувилля.
Пусть г > 0 и I/ = /7(М+) обозначает пространство всех измеримых по Лебегу функций на полуоси М+ = (0, оо), для которых
Первой из всего круга задач, связанных с дробным интегродифферен-цированием, в диссертации рассматривается задача о нахождении критериев выполнения весовых неравенств вида
*) ’ < с (/" ШТ?**)р> (0-2)
где 0 < р. (I < со, р > 1, и(х) и у(х) — локально суммируемые функции без каких-либо априорных ограничений.
Данная задача восходит к работам Г.Г. Харди и Д.Е. Литтлвуда (см.[29, теоремы 329, 383, 402], в которых найдены критерии выполнения (0.2) со степенными весами. Кроме того, для некоторых приложений имеется необходимость исследовать компактность оператора / г>1а(и/) в пространствах Лебега.
Активное развитие выделенной области дробного интегрирования началось с 70-х годов прошлого века, когда в работах Г. Таленти [57], Д. То-маселли [58], Б. Мукенхаупта [44], Дж. Брэдли [25], А.Л. Розина и В.Г. Ма-зьи [41], [42], [8], В.М.Кокилашвили [4], С.Д. Рименшнайдера [50] и других

авторов был полностью изучен случай а = 1. В конце 80-х в работах В.Д. Степанова [13]. [14], [15], [16], [17], были найдены критерии ограниченности и компактности операторов 1а при а > 1. Далее, в 00-х годах, эти результаты были обобщены на более широкий класс операторов в работах Р. Ойнарова [9], [10], X. Мартина-Рейеса и Э. Сойера [40], С. Блума и Р. Кермана [23]. [24] а также В.Д. Степанова и его учеников [36]. [37]. [46], [47], [6], [7], [38], [45].
Случай а £ (0, 1), за исключением одного результата К. Андерсена и Э. Сойера [20] (см. §1.4), оставался практически не исследован. В 1994 в рамках изучения поведения .9-чисел одновесового оператора / —> v(Iaf) в L2 в работе И. Ньюмена и М. Соломяка [48] был указан критерий ограниченности и компактности при а > Этот результат послужил отправной точкой для исследований во второй главе диссертации, где получены критерии выполнения (0.2) при и = 1, 0 < р, q < оо, р > тах(1, £) и критерии компактности. Отметим, что для более узкого интервала параметров р и q аналогичные результаты независимо получены А. Месхи [43]. Кроме этого, во второй главе даются двойственные и дискретные версии, а также охарактеризована ограниченность оператора vla в пространствах Лоренца.
В настоящее время в связи с некоторыми теоремами вложения (см. [18]) рассматриваются весовые неравенства для интегральных операторов с переменными пределами вида
р/КЛР*)9 < с (J~ 1/У)|р*)”,

(Х7)(У) = г(х) f (х-li)a~'f{y)u(y)dy,
а цк ф возрастающие, абсолютно непрерывные на R+ функции со свойством ф(х) < ф(г) < х. В третьей главе приведены критерии Lp — U1 ограниченности к компактности оператора К. в случае а > 1 и доказаны новые результаты когда и = 1. 0 < р, q < оо, р > maxi'T 1), при этом случай 0 < а < 1 является новым, а критерий уже решенного случая а > 1 отличается от известных (см. [39], [2], [37], [28], [30], [27]).
В четвертой главе неравенство (0.2) охарактеризовано для и = 1 или с = 1 при р = q и а е (0, 1). а также даны приложения к разрешимости интегрального уравнения Абеля вида
При р < q = ос действуем аналогично:
B'(t) < [2k+i) i sup г |{)t'|pa"1[2*,oo) > тЩ
= (2*+1)Й sup г ^ |{|i#a_,X(2”>,2"‘+i) > г}|^
< (21+1У ^suprlil^-'.vjy..-.«, > -}|(] (2)'' ) (]2’")”ej < Л'.
Таким образом В1 <С А' и эквивалентность доказана.
Достаточность. Случай а > 1 следует из неравенства
(Ва,фЛ(х)< (Н,^Л(х). х > о,
монотонности (2.8). теоремы 2.4.2 и эквивалентности .4' яв В'.
Пусть 0 < а < 1. Так как при у € (0, выполнено ф{х) > ф(х) — у > ф(х) — т,х > ^ф(х), то
{На,ф1)(х)< (Я„^|/|)(х) + (R'aJf)(x),

1К,фШ = Ф) [ш-yf 7(*/) Лу-2Х
Отсюда и из (2.7). (2.8) имеем
II Ra,f\p,q,fi ^ II Н(Х,Ф I/I lip.?, IJ +
Теорема 2.4.2 дает оценку ||Яа^|/|||Р:(?1/, С В'\/\р>(1^ и, следовательно, достаточно показать, что для всех неотрицательных функций / справедливо
\Ва.ф}%),(},II А ||/||ргд,р* (2.10)
Для этого сначала оценим интеграл
fA(yMx)-yy-'dy.
Применяя неравенство (2.9). для каждого х € {t: 6(t) < оо} получим
[ f(vM*) - v)“~ldv«11/(д,г)!1су1||(^т7')(®('!;) -

где 1/s' + 1/s = 1. Рассмотрим последний сомножитель. Решая относительно у уравнение (ф(х) — y)a~l = t. у 6 (ус, ж), находим х — у —